2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题33 阅读理解与新定义题（31题）（解析版）

专题33 阅读理解与新定义题（31题）

一、单选题

1．（2024·四川眉山·中考真题）定义运算： ，例如 ，则函数的最小值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最值即可．

【详解】解：由题意得， ，

即 ，

当时，函数的最小值为 ．

故选：B．

2．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：

①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着轴正方向（ ）或负方向（ ）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（ ）或负方向（ ）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作 ．

②加法运算法则： ，其中 ， ， ， 为实数．

若 ，则下列结论正确的是（ ）

A． ， B． ，

C． ， D． ，

【答案】B

【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出 ，即可求解．

【详解】解：∵ ，

∴

解得： ，

故选：B．

3．（2024·广东深圳·中考真题）二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案．

【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个，

则抽到的节气在夏季的概率为 ，

故选：D．

4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．

【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ，

∴ ，

故选：B．

5．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）

A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步

【答案】D

【分析】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．

【详解】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故对应的是半亩八十四步，

故选D．

二、填空题

6．（2024·甘肃·中考真题）定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且 ）．例： ，则．

【答案】8

【分析】根据定义，得 ，解得即可．

本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．

【详解】根据定义，得 ，

故答案为：8．

7．（2024·四川广元·中考真题）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为秒．

【答案】

【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，解题的关键是熟知 ．根据题意可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法表示出来即可．

【详解】解：根据题意1阿秒是秒可知，

43阿秒秒，

故答案为： ．

8．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ，若 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示）

【答案】

【分析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．

【详解】∵圆心角 ， ， ，

∴阴影部分的面积是

故答案为： ．

9．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为 ，则点按照变换后得到点的坐标为．

【答案】

【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点 ，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转 ，得到 ， ，据此求解即可．

【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点 ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转 ，

∴ ，

作轴于点 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴点的坐标为 ，

故答案为： ．

10．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数 ， 定义运算“※”为 ，例如 ，则关于的不等式有且只有一个正整数解时， 的取值范围是．

【答案】

【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得．

【详解】解：根据题意可知，

解得：

有且只有一个正整数解

解不等式①，得：

解不等式②，得：

故答案为： ．

11．（2024·湖北武汉·中考真题）黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为 ，底端B的俯角为 ，则测得黄鹤楼的高度是m．（参考数据： ）

【答案】51

【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．延长交距水平地面的水平线于点D，根据 ，求出 ，即可求解．

【详解】解：延长交距水平地面的水平线于点D，如图，

由题可知， ，

设 ，

∵

∴

∴

∴

∴

故答案为：51．

12．（2024·山东泰安·中考真题）某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是．

【答案】

【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．

先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可．

【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D，

列表如下：

共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种，

∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为 ．

故答案为： ．

13．（2024·湖南长沙·中考真题）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是．

【答案】2009

【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得 ，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解．

【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，

根据题意，得 ，

整理，得

∴ ，

∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，

∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009，

∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生，

∴x只能是2009，

故答案为：2009．

14．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得 ，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为．

【答案】4

【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到 ，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．

【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点 ，使得 ，则 ，

，

中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ，

抛物线 “开口大小”为 ，

故答案为： ．

15．（2024·重庆·中考真题）一个各数位均不为0的四位自然数 ，若满足 ，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵ ，∴1278是“友谊数”．若是一个“友谊数”，且 ，则这个数为；若是一个“友谊数”，设 ，且是整数，则满足条件的的最大值是．

【答案】 3456

【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到 ，再由可求出a、b、c、d的值，进而可得答案；先求出 ，进而得到 ，根据是整数，得到是整数，即是整数，则是13的倍数，求出 ，再按照a从大到小的范围讨论求解即可．

【详解】解：∵ 是一个“友谊数”，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴这个数为 ；

∵ 是一个“友谊数”，

∴

，

∴ ，

∴

，

∵ 是整数，

∴ 是整数，即是整数，

∴ 是13的倍数，

∵ 都是不为0的正整数，且 ，

∴ ，

∴当时， ，此时不满足是13的倍数，不符合题意；

当时， ，此时不满足是13的倍数，不符合题意；

当时， ，此时可以满足是13的倍数，即此时 ，则此时 ，

∵要使M最大，则一定要满足a最大，

∴满足题意的M的最大值即为 ；

故答案为：3456； ．

16．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成 ，其中与 都是两位数，且与 的十位数字相同，个位数字之和为 ，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为 ， 与的十位数字相同，个位数字与 的和为 ，所以是“方减数”， 分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是．把一个“方减数” 进行“方减分解”，即 ，将放在的左边组成一个新的四位数 ，若除以余数为 ，且 （ 为整数），则满足条件的正整数为．

【答案】

【分析】本题考查了新定义，设 ，则 （ ， ）根据最小的“方减数”可得 ，代入，即可求解；根据除以余数为 ，且 （ 为整数），得出为整数， 是完全平方数，在 ， ，逐个检验计算，即可求解．

【详解】 设 ，则 （ ， ）

由题意得： ，

∵ ，“方减数”最小，

∴ ，

则 ， ，

∴ ，

则当时， 最小，为 ，

故答案为： ；

设 ，则 （ ， ）

∴

∵ 除以余数为 ，

∴ 能被整除

∴ 为整数，

又 （ 为整数）

∴ 是完全平方数，

∵ ，

∴ 最小为 ，最大为

即

设 ， 为正整数，

则

当时， ，则 ，则是完全平方数，又 ， ，无整数解，

当时， ，则 ,则是完全平方数，又 ， ，无整数解，

当时， ，则 ，则是完全平方数，

经检验，当时， ， ， ，

∴ ，

∴

故答案为： ， ．

17．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．

（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；

① ；② ；③ ．

（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．

【答案】 ③ 或

【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．

（1）① 中，取 ，不存在“近轴点”；

② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；

③ ，取时， ，得到是 的“近轴点”；

（2） 图象恒过点 ，当直线过时， ，得到 ；当直线过时， ，得到 ．

【详解】（1）① 中，

时， ，

不存在“近轴点”；

② ，

由对称性，当时， ，

不存在“近轴点”；

③ ，

时， ，

∴ 是的“近轴点”；

∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③

故答案为：③；

（2） 中，

时， ，

∴图象恒过点 ，

当直线过时， ，

∴ ，

∴ ；

当直线过时， ，

∴ ，

∴ ；

∴m的取值范围为或 ．

故答案为： 或 ．

三、解答题

18．（2024·吉林·中考真题）吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图或列表的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．

【答案】

【分析】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．画出树状图，可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，再由概率公式求解即可．

【详解】解：将“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A、B、C，可画树状图为：

由树状图可知共有9种等可能的结果数，小明与小亮恰好抽中同一个项目的结果数有3种，

∴幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率 ．

19．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角的正弦值与折射角的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．

(1)若光从真空射入某介质，入射角为 ，折射角为 ，且 ， ，求该介质的折射率；

(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C处射出．如图②，已知 ， ，求截面的面积．

【答案】(1) ；

(2) ．

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识，

（1）根据 ，设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，进而可得 ，问题即可得解；

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，根据 ，可得 ，则有 ，在中，设 ， ，问题随之得解．

【详解】（1）∵ ，

∴如图，

设 ，则 ，由勾股定理得， ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴折射率为： ．

（2）根据折射率与（1）的材料相同，可得折射率为 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

∵四边形是矩形，点O是中点，

∴ ， ，

又∵ ，

∴ ，

在中，设 ， ，

由勾股定理得， ，

∴ ．

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴截面的面积为： ．

20．（2024·青海·中考真题）综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．

【探究一】

如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．

求证：中点四边形是平行四边形．

证明：∵E、F、G、H分别是 、 、 、 的中点，

∴ 、 分别是和 的中位线，

∴ ， （①）

∴ ．

同理可得： ．

∴中点四边形是平行四边形．

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．

（1）请你补全上述过程中的证明依据①________

【探究二】

从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．

（2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

【探究三】

（3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②________．

（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．

【归纳总结】

（5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．

结论：原四边形对角线③________时，中点四边形是④________．

【答案】（1）①中位线定理

（2）证明见解析

（3）②矩形

（4）证明见解析

（5）补图见解析；③ 且 ；④正方形

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识

（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；

（2）根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；

（3）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

（4）根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

（5）根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.

【详解】（1）①证明依据是：中位线定理；

（2）证明：∵ 分别是的中点，

∴ 分别是和 的中位线，

∴ ，

∴ ．

同理可得： ．

∵

∴

∴中点四边形是菱形．

（3）②矩形；

故答案为：矩形

（4）证明∵ 分别是的中点，

∴ 分别是和 的中位线，

∴ ， ，

∴ ．

同理可得： ．

∵

∴ ，

∴

∴中点四边形是矩形．

（5）证明：如图4，∵ 分别是的中点，

∴ 分别是和 的中位线，

∴ ，

∴ ．

同理可得： ．

∵

∴

∴中点四边形是菱形．

∵

由（4）可知

∴菱形是正方形．

故答案为：③ 且 ；④正方形

21．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线 ．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．

(1)若火箭第二级的引发点的高度为 ．

①直接写出a，b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．

(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．

【答案】(1)① ， ；②

(2)

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．

（1）①将代入即可求解；②将变为 ，即可确定顶点坐标，得出 ，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．

【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为

∴抛物线和直线均经过点

∴ ，

解得 ， ．

②由①知， ，

∴

∴最大值

当时，

则

解得 ，

又∵ 时，

∴当时，

则

解得

∴这两个位置之间的距离 ．

（2）解：当水平距离超过时，

火箭第二级的引发点为 ，

将 ， 代入 ，得

，

解得 ，

∴ ．

22．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】

手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．

【模型建立】

（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”． ， ．求证： ．

【模型应用】

（2）如图2， 中， 的平分线交 于点 ．请你从以下两个条件：

① ；② 中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）

【拓展提升】

（3）如图3， 为的直径， ， 的平分线交 于点 ，交于点 ，连接 ．求证： ．

【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：

（1）利用证明 ，即可；

（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使 ，连接 ，证明 ，可得 ， ，再由 ，可得 ，从而得到 ，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使 ，连接 ，证明 ，可得 ， ，再由 ，可得 ，从而得到 ，即可；

（3）连接 ，取的中点F，连接 ，根据圆周角定理可得 ，从而得到 ，再由为 的直径，可得 ，从而得到 ，然后根据 ，可得 ，可证明 ，从而得到 ，即可．

【详解】解：（1）在和 中，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：选择②为条件，①为结论

如图，在取点N，使 ，连接 ，

∵ 平分 ，

∴ ，

在和 中，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

选择①为条件，②为结论

如图，在取点N，使 ，连接 ，

∵ 平分 ，

∴ ，

在和 中，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（3）如图，连接 ，取的中点F，连接 ，

∵ 的平分线 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 为的直径，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

23．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．

【答案】任务1： ；任务2： ；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润

【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．

任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；

任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．

【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，

∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，

∴加工“正”服装的有人，

∵“正”服装总件数和“风”服装相等，

∴ ，

整理得： ；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，

∴ ，

整理得：

∴

任务3：由任务2得 ，

∴当时，获得最大利润，

，

∴ ，

∵开口向下，

∴取或 ，

当时， ，不符合题意；

当时， ，符合题意；

∴ ，

综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．

24．（2024·山东威海·中考真题）定义

我们把数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离 ．特别的，当时，表示数a的点与原点的距离等于 ．当时，表示数a的点与原点的距离等于 ．

应用

如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．

(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？

(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．

【答案】(1)过4秒或6秒

(2)3

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式的性质，绝对值的意义等知识，解题的关键是：

（1）设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；

（2）先求出点A，B到原点距离之和为 ，然后分 ， ， 三种情况讨论，利用绝对值的意义，不等式的性质求解即可．

【详解】（1）解：设经过x秒，则A表示的数为 ，B表示的数为 ，

根据题意，得 ，

解得或6，

答，经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度；

（2）解：由（1）知：点A，B到原点距离之和为 ，

当时， ，

∵ ，

∴ ，即 ，

当时， ，

∵ ，

∴ ，即 ，

当时， ，

∵ ，

∴ ，即 ，

综上， ，

∴点A，B到原点距离之和的最小值为3．

25．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪 ， 在两侧， ，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒的高度．（参考数据： ， ， ．）

【答案】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点作 于G，连接 ，则四边形是矩形，可得 ， ，再证明四边形是矩形，则 ， ，进一步证明三点共线，得到 ；设 ，解得到 ；解得到 ；则 ，解得 ，即 ，则 ．

【详解】解：如图所示，过点作 于G，连接 ，则四边形是矩形，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

由题意可得 ，

∴ ，

∴四边形是矩形，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 三点共线，

∴ ；

设 ，

在中， ，

∴

∴ ；

在中， ，

∴

∴ ；

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∴ ，

∴风电塔筒的高度约为 ．

26．（2024·甘肃·中考真题）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通．如图2，已知和圆上一点M．作法如下：

①以点M为圆心， 长为半径，作弧交于A，B两点；

②延长交 于点C；

即点A，B，C将的圆周三等分．

(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将的圆周三等分（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)根据（1）画出的图形，连接 ， ， ，若的半径为 ，则的周长为______ ．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；

（2）连接 ，设的交点为D，得到 ，根据的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，计算即可．

本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键．

【详解】（1）根据基本作图的步骤，作图如下：

则点A，B，C是求作的的圆周三等分点．

（2）连接 ，设的交点为D，

根据垂径定理得到 ，

∵ 的半径为 ， 是直径， 是等边三角形，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 的周长为 ，

故答案为： ．

27．（2024·河南·中考真题）综合与实践

在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究

定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．

(1)操作判断

用分别含有和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．

(2)性质探究

根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．

如图2，四边形是邻等对补四边形， ， 是它的一条对角线．

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若 ， ， ，求的长（用含m，n， 的式子表示）．

(3)拓展应用

如图3，在中， ， ， ，分别在边 ， 上取点M，N，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出的长．

【答案】(1)②④

(2)① ．理由见解析；②

(3) 或

【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义判断即可；

（2）①延长至点E，使 ，连接 ，根据邻等对补四边形定义、补角的性质可得出 ，证明 ，得出 ， ，根据等边对等角得出 ，即可得出结论；

②过A作于F，根据三线合一性质可求出 ，由①可得 ，在中，根据余弦的定义求解即可；

（3）分 ， ， ， 四种情况讨论即可．

【详解】（1）解：观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图2和图4中存在对角互补且邻边相等，

故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，

故答案为：②④；

（2）解：① ，理由：

延长至点E，使 ，连接 ，

∵四边形是邻等对补四边形，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ；

②过A作于F，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

在中， ，

∴ ；

（3）解：∵ ， ， ，

∴ ，

∵四边形是邻等对补四边形，

∴ ，

∴ ，

当时，如图，连接 ，过N作于H，

∴ ，

在中 ，

在中 ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ；

当时，如图，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，故不符合题意，舍去；

当时，连接 ，过N作于H，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，即 ，

解得 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ；

当时，如图，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，故不符合题意，舍去；

综上， 的长为或 ．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，明确题意，理解新定义，添加合适辅助线，构造全等三角形、相似三角形是解题的关键．

28．（2024·四川甘孜·中考真题）【定义与性质】

如图，记二次函数和 的图象分别为抛物线C和 ．

定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．

性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；

②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在 上．

【理解与运用】

（1）若二次函数和 的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ______， ______．

【思考与探究】

（2）设函数的图象为抛物线 ．

①若函数的图象为抛物线 ，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；

②若抛物线与x轴有两个不同的交点 ， ，请直接写出的取值范围．

【答案】（1）2； ；（2）① ；② 或

【分析】题目主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键．

（1）根据题意确定点在 的伴随抛物线上，代入求解即可；

（2）①根据题意确定顶点坐标为： ，然后代入解析式得出 ，即可求解；

②根据题意得出顶点坐标在 图像上滑动，然后分情况分析即可得出结果．

【详解】解：（1）二次函数和 的图象都是抛物线的伴随抛物线，

∴点在 的伴随抛物线上，

代入得： ， ，

解得： ， ，

故答案为：2； ；

（2）① ，

∴顶点坐标为： ，

∵函数的图象为抛物线 ，且始终是的伴随抛物线，

∴ ，

整理得： ，

∴ ；

②∵ 与x轴有两个不同的交点 ， ，

由①得：函数的图象为抛物线 ，且始终是的伴随抛物线，

∴顶点坐标在 图像上滑动，

顶点为 ，

当时，

解得： 或 ，

抛物线与x轴交两个点，

当顶点在下方时，抛物线有两个交点， ，

∵若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在 上．

∴ 在上，

当顶点在下方时， ；

综上可得： 或 ．

29．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足时，称点是点的等和点．

(1)已知点 ，在 ， ， 中，是点等和点的有_____；

(2)若点的等和点在直线上，求的值；

(3)已知，双曲线和直线 ，满足的 取值范围是或 ．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．

【答案】(1) 和 ；

(2) ；

(3) 或 ．

【分析】（ ）根据等和点的定义判断即可求解；

（ ）设点的横坐标为 ，根据等和点的定义得点的纵坐标为 ，即可得点的坐标为 ，把点的坐标代入即可求解；

（ ）由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由时 的取值范围是或 ，可得点的横坐标为 ，点的横坐标为 ，即得 ，得到反比例函数解析式为 ，设 ，点的横坐标为 ，根据等和点的定义得 ，代入得 ，解方程得 ， ，据此即可求解；

本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．

【详解】（1）解：由 ， 得， ，

∴点是点的等和点；

由 ， 得， ， ，

∵ ，

∴ 不是点的等和点；

由 ， 得， ，

∴ 是点的等和点；

故答案为： 和 ；

（2）解：设点的横坐标为 ，

∵点是点的等和点，

∴点的纵坐标为 ，

∴点的坐标为 ，

∵点在直线上，

∴ ，

∴ ；

（3）解：由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由时 的取值范围是或 ，可得点的横坐标为 ，点的横坐标为 ，

把代入得， ，

∴ ，

把代入得， ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

设 ，点的横坐标为 ，

∵点是点的等和点，

∴点的纵坐标为 ，

∴ ，

∵点在直线上，

∴ ，

整理得， ，

去分母得， ，

解得 ， ，

经检验， 是原方程的解，

∴点的坐标为或 ．

30．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”．

(1)如图1所示，四边形为“垂中平行四边形”， ， ，则 ________； ________；

(2)如图2，若四边形为“垂中平行四边形”，且 ，猜想与 的关系，并说明理由；

(3)①如图3所示，在中， ， ， 交于点 ，请画出以为边的垂中平行四边形，要求：点在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；

②若关于直线对称得到 ，连接 ，作射线交①中所画平行四边形的边于点 ，连接 ，请直接写出的值．

【答案】(1) ，

(2) ，理由见解析

(3)①见解析；② 或 ．

【分析】（1）根据题意可推出 ，得到 ，从而推出 ，再根据勾股定理可求得 ，再求得 ；

（2）根据题意可推出 ，得到 ，设 ，则 ， ，再利用勾股定理得到 ，从而推出 、 ，即可求得答案；

（3）①分情况讨论，第一种情况，作的平行线 ，使 ，连接 ，延长交 于点 ；第二种情况，作的平分线，取交 的平分线于点 ，延长交 的延长线于点 ，在射线上取 ，连接 ；第三种情况，作 ，交的延长线于点 ，连接 ，作的垂直平分线；

在延长线上取点F，使 ，连接 ；

②根据①中的三种情况讨论：

第一种情况，根据题意可证得是等腰三角形，作 ，则 ，可推出 ，从而推出 ，计算可得 ，最后利用勾股定理即可求得 ；

第二种情况，延长 、 交于点 ，同理可得是等腰三角形，连接 ，可由 ，结合三线合一推出 ，从而推出 ，同第一种情况即可求得 ；

第三种情况无交点，不符合题意．

【详解】（1）解： ， 为的中点， ， ， ，

， ，

，即 ，解得 ，

，

；

故答案为：1； ；

（2）解： ，理由如下：

根据题意，在垂中四边形中， ，且为 的中点，

， ；

又 ，

，

；

设 ，则 ，

，

，

， ，

，

，

，

；

（3）解：①第一种情况：

作的平行线 ，使 ，连接 ，

则四边形为平行四边形；

延长交 于点 ，

，

，

，

， ，

，即 ，

为的中点；

故如图1所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：

第二种情况：

作的平分线，取交 的平分线于点 ，延长交 的延长线于点 ，在射线上取 ，连接 ，

故为 的中点；

同理可证明： ，

则 ，

则四边形是平行四边形；

故如图2所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：

第三种情况：

作 ，交的延长线于点 ，连接 ，作的垂直平分线；

在延长线上取点F，使 ，连接 ，

则为 的中点，

同理可证明 ，从而 ，

故四边形是平行四边形；

故如图3所示，四边形即为所求的垂中平行四边形：

②若按照图1作图，

由题意可知， ，

四边形是平行四边形，

，

，

是等腰三角形；

过P作于H，则 ，

， ，

， ，

，

；

, ，

，

，即

∴

若按照图2作图，

延长 、 交于点 ，

同理可得： 是等腰三角形，

连接 ，

，

，

，

，

；

同理， ，

， ， ，

，即 ，

，

若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）

故答案为： 或 ．

【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的辅助线是解题的关键．

31．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中， 的半径为1，对于的弦和不在直线上的点 ，给出如下定义：若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”．

(1)如图，点 ， ．

①在点 ， ， 中，点___________是弦的“ 可及点”，其中 ____________ ；

②若点是弦的“ 可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；

(2)已知是直线上一点，且存在的弦 ，使得点是弦的“ 可及点”．记点的横坐标为 ，直接写出的取值范围．

【答案】(1)① ，45；②

(2) 或

【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得 ，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在 上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解 ；

②取中点为H，连接 ，可确定点D在以H为圆心， 为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求 ，故点的横坐标的最大值为 ；

（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆 ，连接 ，则点P在以为圆心， 为半径的上运动（不包括端点M、N），可求 ，随着的增大， 会越来越靠近 ，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大， ，由 ，故当最大， 时，此时为等边三角形，此时 ，故当 ， 的最大值为2，设 ，则 ，解得： ，可求直线与交于点 ， ，故t的取值范围是或 ．

【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，

∵若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”，

∴点C应在的圆内或圆上，

∵点 ， ，

∴ ，

而 ，

∴ ,

由对称得： ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ,

设半径为 ，

则 ,故在 外，不符合题意；

，故在 上，符合题意；

，故在 外，不符合题意，

∴点是弦的“ 可及点”，

可知三点共线，

∵ ，

∴ ，

故答案为： ，45；

②取中点为H，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∴点D在以H为圆心， 为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），

∴当点轴时，点D横坐标最大，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵点 ， ，

∴ ，

∴此时 ，

∴点的横坐标的最大值为 ，

故答案为： ；

（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，

∵若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”，

∴点C应在的圆内或圆上，

故点P需要在的圆内或圆上，

作出的外接圆 ，连接 ，

∴点P在以为圆心， 为半径的上运动（不包括端点M、N），

∴ ，

∴ ，

由对称得点在 的垂直平分线上，

∵ 的外接圆为 ，

∴点也在的垂直平分线上，记与 交于点Q，

∴ ，

∴ ，

随着的增大， 会越来越靠近 ，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大， ，

连接 ，

∵ ，

∴当最大, 时，此时为等边三角形，

由上述过程知

∴ ，

∴当 ， 的最大值为2，

设 ，则 ，

解得： ，

而记直线与 交于 ，与y轴交于点K，过点S作轴，

当 ，当时， ，

解得 ，

∴与x轴交于点 ，

∴ ，而

∴ 为等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴t的取值范围是或 ．

【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．