2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题25 图形的平移翻折对称（36题）（解析版）

专题25 图形的平移翻折对称（36题）

一、单选题

1．（2024·江苏苏州·中考真题）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】此题主要考查轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，故此选项错误．

故选：A．

2．（2024·天津·中考真题）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键．

【详解】解：A.不是轴对称图形；

B.不是轴对称图形；

C.是轴对称图形；

D.不是轴对称图形；

故选C．

3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．

【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：C．

4．（2024·重庆·中考真题）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．

【详解】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．

故选：A．

5．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是 ，则图中阴影图形的周长是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去 ，由此解答即可．

【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去 ，

阴影图形的周长是： ，

故选：A．

6．（2024·四川眉山·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案．

【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；

B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：A．

7．（2024·河北·中考真题）如图， 与交于点O， 和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．

根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．

【详解】解：由轴对称图形的性质得到 ， ，

∴ ，

∴B、C、D选项不符合题意，

故选：A．

8．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等

C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形

【答案】A

【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；

C、正五边形的外角和为 ，选项错误，是假命题，不符合题意；

D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；

故选：A．

9．（2024·贵州·中考真题）“黔山秀水”写成下列字体，可以看作是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了轴对称图形概念，一个图形沿着某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形．根据轴对称图形概念，结合所给图形即可得出答案．

【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；

B． 是轴对称图形，符合题意；

C． 不是轴对称图形，不符合题意；

D． 不是轴对称图形，不符合题意；

故选：B．

10．（2024·北京·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键．

【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：B．

11．（2024·湖北武汉·中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，

C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：C．

12．（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．

【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意；

B．图案成轴对称，故符合题意；

C．图案不成轴对称，故不符合题意；

D．图案不成轴对称，故不符合题意；

故你：B．

13．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．

故选：B．

14．（2024·广东·中考真题）下列几何图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；

C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故不符合题意；

D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

故选：C．

15．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，点的对称，属于简单题，求交点坐标是解题关键．

先求出点的坐标，再根据对称性求出对称点的坐标即可．

【详解】解：令 ，则 ，

解得： ，

即点为 ，

则点A关于y轴的对称点是 ．

故选：A．

16．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与 都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点 ， 分别是底边 ， 的中点， ．下列推断错误的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得 ，由等腰三角形的性质得 ， ，即可判断；

B. 不一定等于 ，即可判断；

C.由对称的性质得 ，由全等三角形的性质即可判断；

D. 过作 ，可得 ，由对称性质得同理可证 ，即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键．

【详解】解：A. ，

，

由对称得 ，

点 ， 分别是底边 ， 的中点， 与都是等腰三角形，

， ，

，

，结论正确，故不符合题意；

B. 不一定等于 ，结论错误，故符合题意；

C.由对称得 ，

∵点E ，F分别是底边的中点，

，结论正确，故不符合题意；

D.

过作 ，

，

，

，由对称得 ，

，

同理可证 ，

，结论正确，故不符合题意；

故选：B．

17．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）

A． 或 B． 或 C． 或 D． 或

【答案】D

【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．

先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：① 先向右1个单位，不符合题意；② 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ．

【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位 ，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则按照“和点” 反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：

① 先向右1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到 ，故矛盾，不成立；

② 先向下1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到 ，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 ，即 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ，

故选：D．

二、填空题

18．（2024·江西·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为．

【答案】

【分析】本题考查了坐标与图形变化－平移．利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加2，纵坐标加3即可得到点B的坐标．

【详解】解：∵点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，

∴点B的坐标为 ，即 ．

故答案为： ．

19．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点在第一象限（不与点重合），且与 全等，点的坐标是．

【答案】

【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出 ．

【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与 全等，

∴ ， ，

∴可画图形如下，

由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则 ．

故答案为： ．

20．（2024·四川甘孜·中考真题）如图， 中， ， ， ，折叠 ，使点A与点B重合，折痕与 交于点D，与交于点E，则的长为．

【答案】3

【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

设 ，则 ，根据勾股定理求解即可．

【详解】解：由折叠的性质，得 ，

设 ，则 ，

由勾股定理，得 ，

∴ ，

解得 .

故答案为：3．

21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中， ， ，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足 ，则平移前后两三角形重叠部分的面积是．

【答案】 /

【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出 ，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可．

【详解】解：∵等腰中， ， ，

∴ ，

∵ 为中线，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∵将沿其底边中线向下平移，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

故答案为： ．

22．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中， ， ， ，点为直线上一动点，则的最小值为．

【答案】

【分析】如图，作关于直线的对称点 ，连接交 于 ，则 ， ， ，当重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作关于直线的对称点 ，连接交 于 ，则 ， ， ，

∴当重合时， 最小，最小值为 ，

∵ ， ，在中，

∴ ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

故答案为：

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．

23．（2024·河南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为 ，点E在边上．将沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则点E的坐标为．

【答案】

【分析】设正方形的边长为a， 与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出 ， ， ，根据折叠的性质得出 ， ，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解．

【详解】解∶设正方形的边长为a， 与y轴相交于G，

则四边形是矩形，

∴ ， ， ，

∵折叠，

∴ ， ，

∵点A的坐标为 ，点F的坐标为 ，

∴ ， ，

∴ ，

在中， ，

∴ ，

解得 ，

∴ ， ，

在中， ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

∴点E的坐标为 ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键．

24．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例函数的图像上， 轴于点C， ，将沿 翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为．

【答案】

【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．

如图，过点作 轴于点 ．根据 ， ，设 ，则 ，由对称可知 ， ，即可得 ， ，解得 ，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；

【详解】解：如图，过点作 轴于点 ．

∵点A的坐标为 ，

∴ ，

∵ ， 轴，

设 ，则 ，

由对称可知 ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，

∴ ，

解得： ，

∵反比例函数图象在第一象限，

∴ ，

故答案为： ．

25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点为 内部一点，点为射线 、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则．

【答案】 / 度

【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是与 ， 的交点时， 的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．

【详解】解：作关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是与 ， 的交点时， 的周长最短，连接 ，

关于对称，

∴ ，

同理， ， ，

， ，

是等腰三角形．

，

故答案为： ．

26．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，过点作 轴的垂线 ， 为直线上一动点，连接 ， ，则的最小值为．

【答案】5

【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点 ，连交直线于点C，连 ，得到 ， ，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时， 的最小值为 ，再利用勾股定理求即可．

【详解】解：取点A关于直线的对称点 ，连交直线于点C，连 ，

则可知 ， ，

∴ ，

即当三点共线时， 的最小值为 ，

∵直线垂直于y轴，

∴ 轴，

∵ ， ，

∴ ，

∴在中，

，

故答案为：5

27．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，点 ， ，将线段平移得到线段 ，若 ， ，则点的坐标是．

【答案】

【分析】由平移性质可知 ， ，则四边形是平行四边形，又 ，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得 ，从而证明 ，由性质得 ，设 ，则 ， ，则 ，解得： ，故有 ， ，得出即可求解．

【详解】如图，过作 轴于点 ，则 ，

由平移性质可知： ， ，

∴四边形是平行四边形，

∵ ，

∴四边形是矩形，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ， ， ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ，解得： ，

∴ ， ，

∴ ，

∵点在第四象限，

∴ ，

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

28．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线 ， 相交于点O， ．线段与 关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， 交于点E，则与四边形的面积比为

【答案】 /

【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．

设 ， ，首先根据菱形的性质得到 ， ，连接 ， ，直线l交于点F，交于点G，得到点 ，D，O三点共线， ， ， ，然后证明出 ，得到 ，然后证明出 ，得到 ，进而求解即可．

【详解】∵四边形是菱形，

∴设 ，

∴ ，

如图所示，连接 ， ，直线l交于点F，交于点G，

∵线段与 关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，

∴ ， ，

∴

∴点 ，D，O三点共线

∴ ，

∴

∴

∵

∴

由对称可得，

∴

∴

又∵

∴

∴

∵

∴

又∵ ，

∴

∴

∴ ．

故答案为： ．

29．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， ， ， ， ，点D，E分别在边上， ，连接 ，将沿 翻折，得到 ，连接 ， ．若的面积是面积的2倍，则．

【答案】 /

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．

设 ， ，根据折叠性质得 ， ，过E作于H，设与 相交于M，证明得到 ，进而得到 ， ，证明是等腰直角三角形得到 ，可得 ，证明得到 ，则 ，根据三角形的面积公式结合已知可得 ，然后解一元二次方程求解x值即可．

【详解】解：∵ ，

∴设 ， ，

∵ 沿翻折，得到 ，

∴ ， ，

过E作于H，设与 相交于M，

则 ，又 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ，则 ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，则 ，

∴ ，

在和 中，

，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

，

∵ 的面积是面积的2倍，

∴ ，则 ，

解得 ， （舍去），

即 ，

故答案为： ．

三、解答题

30．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ， 相交于点E，反比例函数的图象经过点A．

(1)求这个反比例函数的表达式．

(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．

(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）分别求出 ， ， 对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；

（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．

【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴这个反比例函数的表达式为 ；

（2）解：当时， ，

当时， ，

当时， ，

∴反比例函数的图象经过 ， ， ，

画图如下：

（3）解：∵ 向左平移后，E在反比例函数的图象上，

∴平移后点E对应点的纵坐标为4，

当时， ，

解得 ，

∴平移距离为 ．

故答案为： ．

31．（2024·福建·中考真题）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸 ，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中 ），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．

图1 图2 图3

(1)直接写出的值；

(2)如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）

图4

A． B．

C． D．

(3)

现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整 ， 的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．

（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）

【答案】(1)2；

(2)C；

(3)见解析．

【分析】本题考查了几何体的展开与折叠，空间观念、推理能力、模型观念、创新意识等知识，掌握相关知识是解题的关键．

（1）由折叠和题意可知， ， ，四边形是正方形，得到 ，即 ，即可求解；

（2）根据几何体的展开图即可求解；

（3）由题意可得，每张型号卡纸可制作10个正方体，每张型号卡纸可制作2个正方体，每张型号卡纸可制作1个正方体，即可求解．

【详解】（1）解：如图：

上述图形折叠后变成：

由折叠和题意可知， ， ，

∵四边形是正方形，

∴ ，即 ，

∴ ，即 ，

∵ ，

∴ ，

∴ 的值为： ．

（2）解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，

∴C选项符合题意，

故选：C．

（3）解：

根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为 ，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：

∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：

型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：

型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：

∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则

（个），

∴所用卡纸总费用为：

（元）．

32．（2024·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形 ，使其是轴对称图形且点 、 均在格点上．

(1)在图①中，四边形面积为2；

(2)在图②中，四边形面积为3；

(3)在图③中，四边形面积为4．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键．

（1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可．

（2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可．

（3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可．

【详解】（1）解：如图①：四边形即为所求；

（不唯一）．

（2）解：如图②：四边形即为所求；

（不唯一）．

（3）解：如图③：四边形即为所求；

（不唯一）．

33．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．

(1)画出关于y轴对称的 ，并写出点的坐标；

(2)画出绕点A逆时针旋转后得到的 ，并写出点的坐标；

(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留 ）

【答案】(1)作图见解析，

(2)作图见解析，

(3)

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；

（2）根据网格结构找出点 、 以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）先求出 ，再由旋转角等于 ，利用弧长公式即可求出．

【详解】（1）解：如图， 为所求；点的坐标为 ，

（2）如图， 为所求； ，

（3） ，

点B旋转到点的过程中所经过的路径长 ．

34．（2024·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图①中已画出四边形 ，图②中已画出以为半径的 ，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中，面出四边形的一条对称轴．

(2)在图②中，画出经过点E的的切线．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴等等：

（1）如图所示，取格点E、F，作直线 ，则直线即为所求；

（2）如图所示，取格点 ，作直线 ，则直线即为所求．

【详解】（1）解：如图所示，取格点E、F，作直线 ，则直线即为所求；

易证明四边形是矩形，且E、F分别为的中点；

（2）解：如图所示，取格点 ，作直线 ，则直线即为所求；

易证明四边形是正方形，点E为正方形的中心，则 ．

35．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点在第一象限，且 ．

(1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；

(2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为 ．设 ．

①如图②，若直线与边相交于点 ，当折叠后四边形与 重叠部分为五边形时， 与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】(1)

(2)① ；②

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理 ，即可作答．

（2）①由折叠得 ， ，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简， ，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答．

②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出 ，再分别以时， 时， ， 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．

【详解】（1）解：如图：过点C作

∵四边形是平行四边形， ，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为： ，

（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，

∴ ， ，

∴

∵

∴

∴

∵四边形为平行四边形，

∴ ， ，

∴ 是等边三角形

∴

∵

∴

∴ ；

当与点重合时，

此时与 的交点为E与A重合，

如图：当与点B重合时，

此时与 的交点为E与B重合，

∴ 的取值范围为 ；

②如图：过点C作

由（1）得出 ，

∴ ，

∴

当时，

∴ ，开口向上，对称轴直线

∴在时， 随着的增大而增大

∴ ；

当时，如图：

∴ ， 随着的增大而增大

∴在时 ；在时 ；

∴当时，

∵当时，过点E作，如图：

∵由①得出是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴

∵

∴开口向下，在时， 有最大值

∴

∴在时，

∴

则在时， ；

当时，如图，

∴ ， 随着的增大而减小

∴在时，则把分别代入

得出 ，

∴在时，

综上：

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

36．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中， 的半径为1，对于的弦和不在直线上的点 ，给出如下定义：若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”．

(1)如图，点 ， ．

①在点 ， ， 中，点___________是弦的“ 可及点”，其中 ____________ ；

②若点是弦的“ 可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；

(2)已知是直线上一点，且存在的弦 ，使得点是弦的“ 可及点”．记点的横坐标为 ，直接写出的取值范围．

【答案】(1)① ，45；②

(2) 或

【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得 ，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在 上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解 ；

②取中点为H，连接 ，可确定点D在以H为圆心， 为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求 ，故点的横坐标的最大值为 ；

（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆 ，连接 ，则点P在以为圆心， 为半径的上运动（不包括端点M、N），可求 ，随着的增大， 会越来越靠近 ，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大， ，由 ，故当最大， 时，此时为等边三角形，此时 ，故当 ， 的最大值为2，设 ，则 ，解得： ，可求直线与交于点 ， ，故t的取值范围是或 ．

【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，

∵若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”，

∴点C应在的圆内或圆上，

∵点 ， ，

∴ ，

而 ，

∴ ,

由对称得： ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ,

设半径为 ，

则 ,故在 外，不符合题意；

，故在 上，符合题意；

，故在 外，不符合题意，

∴点是弦的“ 可及点”，

可知三点共线，

∵ ，

∴ ，

故答案为： ，45；

②取中点为H，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∴点D在以H为圆心， 为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），

∴当点轴时，点D横坐标最大，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵点 ， ，

∴ ，

∴此时 ，

∴点的横坐标的最大值为 ，

故答案为： ；

（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆 ，

∵若点关于直线的对称点在 上或其内部，且 ，则称点是弦的“ 可及点”，

∴点C应在的圆内或圆上，

故点P需要在的圆内或圆上，

作出的外接圆 ，连接 ，

∴点P在以为圆心， 为半径的上运动（不包括端点M、N），

∴ ，

∴ ，

由对称得点在 的垂直平分线上，

∵ 的外接圆为 ，

∴点也在的垂直平分线上，记与 交于点Q，

∴ ，

∴ ，

随着的增大， 会越来越靠近 ，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大， ，

连接 ，

∵ ，

∴当最大, 时，此时为等边三角形，

由上述过程知

∴ ，

∴当 ， 的最大值为2，

设 ，则 ，

解得： ，

而记直线与 交于 ，与y轴交于点K，过点S作轴，

当 ，当时， ，

解得 ，

∴与x轴交于点 ，

∴ ，而

∴ 为等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴t的取值范围是或 ．

【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．