2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题24 圆的有关计算与证明（29题）（解析版）

专题24 圆的有关计算与证明（29题）

一、单选题

1．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6， ，则的长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可．

【详解】解：由题意可得， 的长为 ,

故选：C．

2．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则的长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶ 求解即可．

【详解】解∵ ， ，

∴ 的长为 ，

故选∶C．

3．（2024·云南·中考真题）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为厘米，底面圆的半径为厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）

A． 平方厘米 B． 平方厘米

C． 平方厘米 D． 平方厘米

【答案】C

【分析】本题考查了圆锥的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．

【详解】解：圆锥的底面圆周长为厘米，

∴圆锥的侧面积为平方厘米，

故选： ．

4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，正六边形内接于 ， ，则的长为（ ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】C

【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到 ，得到为等边三角形，进而得到 ，判断出为等边三角形是解题的关键．

【详解】解： ∵ 是正六边形，

∴ ，

∵ ，

∴ 为等边三角形，

∴ ，

故选：C．

5．（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出 ，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．

【详解】解：设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，

圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，

扇形的弧长为 ，

圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，

，

，

圆锥的高为 ，

圆锥的体积为 ，

故选：D．

6．（2024·四川遂宁·中考真题）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为 米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点作 于 ，由垂径定理得 ，由勾股定理得 ，又根据圆的直径为米可得 ，得到为等边三角形，即得 ，再根据淤泥横截面的面积即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．

【详解】解：过点作 于 ，则 ， ，

∵圆的直径为米，

∴ ，

∴在中， ，

∵ ，

∴ 为等边三角形，

∴ ，

∴淤泥横截面的面积 ，

故选： ．

7．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中， ， ，以为直径作半圆，与 ， 分别相交于点 ， ，则的长度为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了求弧长．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得的度数，证明 ，再由 ，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得的度数，利用弧长公式即可求解．

【详解】解：连接 ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴

∴ ，

在中， ，

∴ ，

又 ，

∵

∴ ，

∴ 的长度为 ，

故选：C．

8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形中， ，点是 的中点．过点作 交于点 ，过点作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点落在阴影部分的概率是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解．

【详解】解：∵ ， ，

∴四边形是矩形，

∴

∴

∵点是 的中点

∴

∴

∴

∴ ， ，

点落在阴影部分的概率是

故选：B．

二、填空题

9．（2024·四川成都·中考真题）如图，在扇形中， ， ，则的长为．

【答案】

【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．

【详解】解：由题意得的长为

，

故答案为：

10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为cm．

【答案】

【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．

【详解】解：设圆锥的母线长为R，

根据题意得 ，

解得： ．

即圆锥的母线长为 ，

∴圆锥的高 cm，

故答案是： ．

11．（2024·吉林·中考真题）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成， 分别与交于点A，D． ， ， ，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）．

【答案】

【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．

利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．

【详解】解：由题意得： ，

故答案为： ．

12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、 与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是 ，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽的长是米．（ 取3.14，计算结果精确到0.1）

【答案】

【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出 ，进而得出 ，然后解方程并按要求取近似数即可．

【详解】解：根据题意，得 ， ，

∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，

∴ ，

∴ ，即

解得 ，

故答案为： ．

13．（2024·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是．

【答案】

【分析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案．

【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为 ，母线长为

∴圆锥的侧面积

故答案为： ．

【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．

14．（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ．

【答案】5

【分析】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于底面周长．

根据题意得圆锥的母线长为 ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径．

【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为 ，

∴圆锥的底面半径为 ，

故答案为：5．

15．（2024·四川自贡·中考真题）龚扇是自贡“小三绝”之一．为弘扬民族传统文化，某校手工兴趣小组将一个废弃的大纸杯侧面剪开直接当作扇面，制作了一个龚扇模型（如图）．扇形外侧两竹条夹角为 ． 长 ，扇面的边长为 ，则扇面面积为 （结果保留 ）．

【答案】

【分析】根据扇形公式进行计算即可．本题考查了扇面面积计算，掌握扇面面积等于两个扇形面积相减是解题的关键．

【详解】解：扇面面积扇形的面积扇形的面积

，

故答案为： ．

16．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角 ，若 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果用π表示）

【答案】

【分析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．

【详解】∵圆心角 ， ， ，

∴阴影部分的面积是

故答案为： ．

17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）用一个圆心角为 ，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．

【答案】

【分析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求解．

【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为 ，由题意得，

解得：

故答案为： ．

18．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形中， ，O为中点， ，则扇形的面积为．

【答案】

【分析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得 ， ，得到 ，再利用扇形的面积公式即可求解．

【详解】解：∵ ， ，

∴ ，

∵O为中点，

∴ ，

∵ ，

在中， ，

∴ ，

同理 ，

∴ ，

∴扇形的面积为 ，

故答案为： ．

19．（2024·吉林长春·中考真题）一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合， ．现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点A经过的路径长至少为 ．（结果保留 ）

【答案】

【分析】本题主要考查了旋转的性质、弧长公式等知识点，掌握弧长公式成为解题的关键．

由旋转的性质可得 ,即 ，再根据点A经过的路径长至少为以B为圆心，以为半径的圆弧的长即可解答．

【详解】解：∵将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，

∴ ,即 ，

∴点A经过的路径长至少为 ．

故答案为： ．

20．（2024·江苏苏州·中考真题）铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是的内心，若 ，则花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留 ）

【答案】

【分析】题目主要考查正多边形与圆，解三角形，求弧长，过点C作 ，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定 ，得出 ，利用余弦得出 ，再求弧长即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．

【详解】解：如图所示：过点C作 ，

∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，

∴ ，

∴ 为等边三角形，

∵圆心C恰好是的内心，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的长为： ，

∴花窗的周长为： ，

故答案为： ．

21．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，对折边长为2的正方形纸片 ， 为折痕，以点为圆心， 为半径作弧，分别交 ， 于 ， 两点，则的长度为（结果保留 ）．

【答案】 /

【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．

由对折可知， ，过点E作的垂线，进而可求出的度数，则可得出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．

【详解】解：∵折叠，且四边形是正方形

四边形是矩形， ，

则 ， ．

过点E作于P，

则 ，

，

在中， ，

，

则 ，

的长度为： ，

故答案为：

22．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）若圆锥的底面半径为3，侧面积为 ，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 ．

【答案】

【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．

【详解】根据圆锥侧面积公式： ，可得

解得： ，

，

解得 ，

侧面展开图的圆心角是 ．

故答案为： ．

23．（2024·吉林长春·中考真题）如图， 是半圆的直径， 是一条弦， 是的中点， 于点 ，交于点 ， 交于点 ，连结 ．给出下面四个结论：

① ；

② ；

③当 ， 时， ；

④当 ， 时， 的面积是 ．

上述结论中，正确结论的序号有．

【答案】①②③

【分析】如图：连接 ，由圆周角定理可判定①；先说明 、 可得 、 ，即可判定②；先证明可得 ,即 ,代入数据可得 ，然后运用勾股定理可得 ，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接 ，易得 ，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到 ，再解直角三角形可得 ，根据三角形面积公式可得 ，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④．

【详解】解：如图：连接 ，

∵ 是的中点，

∴ ,

∴ ，即①正确；

∵ 是直径，

∴ ，

∴ ，

∵

∴ ,

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ,

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ,即②正确；

在和 ,

，

∴ ，

∴ ,即 ,

∴ ，即 ,

∴ ,

∵ ，

∴ ，即③正确；

如图：假设半圆的圆心为O，连接 ，

∵ ， ， 是的中点，

∴

∴ ，

∵ ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，即是菱形，

∴ ，

∵ ，

∴ ，即 ，解得： ,

∴ ，

∵

∴ ，即④错误．

故答案为：①②③．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．

三、解答题

24．（2024·广东·中考真题）综合与实践

【主题】滤纸与漏斗

【素材】如图1所示：

①一张直径为的圆形滤纸；

②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗．

【实践操作】

步骤1：取一张滤纸；

步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；

步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；

步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．

【实践探索】

(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．

(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留 ）

【答案】(1)能，见解析

(2)

【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是：

（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；

（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．

【详解】（1）解：能，

理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为 ，

根据题意，得 ，

解得 ，

∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；

（2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为 ，高为 ，

根据题意，得 ，

解得 ，

∴ ，

∴圆锥的体积为 ．

25．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．

(1)画出关于y轴对称的 ，并写出点的坐标；

(2)画出绕点A逆时针旋转后得到的 ，并写出点的坐标；

(3)在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留 ）

【答案】(1)作图见解析，

(2)作图见解析，

(3)

【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

（1）根据题意画出即可；关于y轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；

（2）根据网格结构找出点 、 以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）先求出 ，再由旋转角等于 ，利用弧长公式即可求出．

【详解】（1）解：如图， 为所求；点的坐标为 ，

（2）如图， 为所求； ，

（3） ，

点B旋转到点的过程中所经过的路径长 ．

26．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中， ， ， ．以点为圆心，以为半径作交 于点 ，以点为圆心，以为半径作所交于点 ，连接交 于另一点 ，连接 ．

(1)求证： 为所在圆的切线；

(2)求图中阴影部分面积．（结果保留 ）

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键．

（1）根据圆的性质，证明 ，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．

（2）先求出平行四边形的高 ，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可．

【详解】（1）解：连接如图，

根据题意可知： ，

又∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形是平行四边形，

∴ ，

∵ ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ 在以为直径的圆上，

∴ ，

∴ 为所在圆的切线．

（2）过作 于点 ，

由图可得： ，

在中， ， ，

∴ ，

∴ ，

由题可知：扇形和扇形全等，

∴ ，

等边三角形的面积为： ，

∴

27．（2024·福建·中考真题）如图，在中， ，以为直径的交 于点 ， ，垂足为的延长线交于点 ．

(1)求的值；

(2)求证： ；

(3)求证： 与互相平分．

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【分析】（1）先证得 ，再在中， ．在中， ，可得 ，再证得结果；

（2）过点作 ，交延长线于点 ，先证明 ，可得 ，再证得 ，再由相似三角形的判定可得结论；

（3）如图，连接 ，由（2） ，可得 ，从而得出 ，得出 ， 得出 ，再由平行线判定得出 ， ，从而得出四边形是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果．

【详解】（1） ，且是 的直径，

．

，

在中， ．

，

在中， ．

，

；

（2）过点作 ，交延长线于点 ．

．

，

，

．

，

，

，

， ，

．

，

，

，

，

．

（3）如图，连接 ．

是的直径，

．

，

．

由（2）知， ，

，

，

．

．

，

．

由（2）知， ，

．

，

，

，

四边形是平行四边形，

与互相平分．

【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键．

28．（2024·陕西·中考真题）问题提出

（1）如图1，在中， ， ，作的外接圆 ．则的长为________；（结果保留π）

问题解决

（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和 为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且 ， ， ， ， ，现要在湿地上修建一个新观测点P，使 ．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道 ，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．

请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）

【答案】（1） ；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为 ．

【分析】（1）连接 ，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解；

（2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点 ，得到四边形是平行四边形，求得 ，作于点 ，解直角三角形求得和 的长，再证明 ，利用相似三角形的性质求得 ，据此求解即可．

【详解】解：（1）连接 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 等边三角形，

∵ ，

∴ ，

∴ 的长为 ；

故答案为： ；

（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为 ．理由如下，

解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形是平行四边形，

∵要在湿地上修建一个新观测点P，使 ，

∴点P在以为圆心， 为弦，圆心角为的圆上，如图，

∵ ，

∴经过点的直线都平分四边形的面积，

∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分，

∴直线必经过的中点 ，

∴ 是的中位线，

∴ ，

∵ ， ，

∴四边形是平行四边形，

∴ ，

作于点 ，

∵四边形是平行四边形， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

在中， ，

∴ ．

答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为 ．

【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．

29．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】

（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；

【操作实践】

（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；

【探究应用】

（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若 ， ，当最大时，求AD的长；

（4）如图6，在中， ，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若 ， ，求的最小值．

【答案】（1）2（2） （3） （4）

【分析】（1）利用圆与正多边形的性质分别计算两个正方形的面积可得答案；

（2）如图，由 ，证明 ，再结合图形变换可得答案；

（3）如图，将绕点逆时针旋转，可得在以为圆心， 为半径的圆上运动，可得当与 相切时， 最大，再进一步解答即可；

（4）如图，将沿 对折， 的对应点为 ，将沿 对折， 的对应点为 ，连接 ，再将沿 方向平移，使与 重合，如图，得 ，由（2）可得： ，当三点共线时， 最短，再进一步解答即可.

【详解】解：如图，

∵正方形 ， 及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形，

∴设 ， ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∴大正方形面积是小正方形面积的2倍．

（2）如图，∵ ，

∴ ， ，

， ，

∴ ，

如图，

结合图形变换可得： ；

（3）如图，∵将绕点逆时针旋转，

∴ 在以为圆心， 为半径的圆上运动，

∵ 为圆外一个定点，

∴当与 相切时， 最大，

∴ ，

∴ ，

由（2）可得： ，

∵ ， ，

∴

，

∴ ；

（4）如图，将沿 对折， 的对应点为 ，将沿 对折， 的对应点为 ，连接 ，

∴ ， ，

再将沿 方向平移，使与 重合，如图，得 ，

由（2）可得： ，

∴当三点共线时， 最短，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴ ；

∴ 的最小值为 ；

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，平移的性质，旋转的性质，圆与正多边形的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.