2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题18 三角形及全等三角形（40题）（解析版）

专题18三角形及全等三角形（40题）

一、单选题

1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中， ， 是边上的高，E是的中点，连接 ，则图中的直角三角形有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断．

【详解】解：由图得 ， ， ， 为直角三角形，

共有4个直角三角形．

故选：C．

2．（2024·河北·中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（ ）

A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得 ，从而可得答案．

【详解】解：由作图可得： ，

∴线段一定是的高线；

故选B

3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则的度数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解．

【详解】解：如图所示，

由题意得 ， ， ，

∴ ，

故选：B．

4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作的垂直平分线交 于点 ，交于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接 ，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．

【详解】解：∵ 是线段的垂直平分线，

∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接 ．

中， ，

根据勾股定理得：

，即：

，

解得： ；

故轮子的半径为 ，

故选：C．

5．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（ ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键．

由等腰三角形“三线合一”得到平分 ，再角平分线的性质定理即可求解．

【详解】解： 如图，

∵ 是等腰底边上的高，

∴ 平分 ，

∴点F到直线 ， 的距离相等，

∵点到直线的距离为3，

∴点到直线的距离为3．

故选：C．

6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中， 垂直平分交 于点 ，若的周长为 ，则 （ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了线段垂直平分线的的性质，由线段垂直平分线的的性质可得 ，进而可得的周长 ，即可求解，掌握线段垂直平分线的的性质是解题的关键．

【详解】解：∵ 垂直平分 ，

∴ ，

∴ 的周长 ，

故选： ．

7．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中， ， ，分别以点 ，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点 ， ，过点 ， 作直线交于点 ，连接 ，则的周长为（ ）

A．7 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可证明 ，根据的周长 ，即可求出答案．

【详解】解：由作图知， 垂直平分 ，

，

的周长 ，

， ，

的周长 ，

故选：C．

8．（2024·湖北·中考真题）平面坐标系中，点的坐标为 ，将线段绕点顺时针旋转 ，则点的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查坐标系下的旋转．过点和点分别作轴的垂线，证明 ，得到 ， ，据此求解即可．

【详解】解：过点和点分别作轴的垂线，垂足分别为 ，

∵点的坐标为 ，

∴ ， ，

∵将线段绕点顺时针旋转得到 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴点的坐标为 ，

故选：B．

9．（2024·北京·中考真题）下面是“作一个角使其等于 ”的尺规作图方法.

上述方法通过判定得到 ，其中判定的依据是（ ）

A．三边分别相等的两个三角形全等

B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等

【答案】A

【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可.

本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键.

【详解】解：根据上述基本作图，可得 ，

故可得判定三角形全等的依据是边边边，

故选A.

10．（2024·广东广州·中考真题）下列图案中，点为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点对称的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键．根据对应点连线是否过点判断即可．

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点对称的是C，

故选：C．

11．（2024·青海·中考真题）如图， 平分 ，点P在上， ， ，则点P到的距离是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质定理．过点P作于点E，根据角平分线的性质可得 ，即可求解．

【详解】解：过点P作于点E，

∵ 平分 ， ， ，

∴ ，

故选：C．

12．（2024·四川凉山·中考真题）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点在 的延长线上，当时， 的度数为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质，是解题的关键．证明 ，再利用 ，进行求解即可．

【详解】解：由题意，得： ，

∵ ，

∴ ，

∴ ；

故选B．

13．（2024·天津·中考真题）如图， 中， ，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点 ，交于点 ；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点 ；画射线 ，与相交于点 ，则的大小为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出 ，由作图得 ，由三角形的外角的性质可得 ，故可得答案

【详解】解：∵ ，

∴ ，

由作图知， 平分 ，

∴ ，

又

∴

故选：B

14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，以为边作 ， ，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）

A． B． C．5 D．8

【答案】D

【分析】如图，把绕 顺时针旋转得到 ，求解 ，结合 ，（ 三点共线时取等号），从而可得答案．

【详解】解：如图，把绕 顺时针旋转得到 ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∵ ，（ 三点共线时取等号），

∴ 的最大值为 ，

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合适的辅助线是解本题的关键．

15．（2024·山东烟台·中考真题）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为 的平分线的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质和判定，根据作图痕迹，逐一进行判断即可．

【详解】解：第一个图为尺规作角平分线的方法， 为的平分线；

第二个图，由作图可知： ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 为的平分线；

第三个图，由作图可知 ，

∴ ， ，

∴

∴ ，

∴ 为的平分线；

第四个图，由作图可知： ， ，

∴ 为的平分线；

故选D．

16．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中， ， ，F是的中点．下列条件中，不能推出与 一定垂直的是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键．

利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论．

【详解】解：A、连接 ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴

又∵点F为的中点

∴ ，故不符合题意；

B、连接 ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

又∵点F为的中点，

∴ ，

∵ ,

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故不符合题意；

C、连接 ，

∵点F为的中点，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故不符合题意；

D、 ，无法得出题干结论，符合题意；

故选：D．

17．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接 ．若 ，则 （ ）

A．5 B． C． D．4

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的信纸，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键．

【详解】解： 是四个全等的直角三角形，

， ，

，

四边形为正方形，

，

，

故选：C．

18．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　）

A． 或 B． 或 C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得 ， ，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．

【详解】解：由方程得， ， ，

∵ ，

∴等腰三角形的底边长为 ，腰长为 ，

∴这个三角形的周长为 ，

故选： ．

二、填空题

19．（2024·四川成都·中考真题）如图， ，若 ， ，则的度数为．

【答案】 /100度

【分析】本题考查了三角形的内角和定理和全等三角形的性质，先利用全等三角形的性质，求出 ，再利用三角形内角和求出的度数即可．

【详解】解：由 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

故答案为：

20．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点的坐标为 ，点在第一象限（不与点重合），且与 全等，点的坐标是．

【答案】

【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与 全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出 ．

【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与 全等，

∴ ， ，

∴可画图形如下，

由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则 ．

故答案为： ．

21．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图， 中，D是上一点， ，D、E、F三点共线，请添加一个条件，使得 ．（只添一种情况即可）

【答案】 或 （答案不唯一）

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一．

【详解】解：∵

∴ ， ，

∴添加条件 ，可以使得 ，

添加条件 ，也可以使得 ，

∴ ；

故答案为： 或 （答案不唯一）．

22．（2024·四川凉山·中考真题）如图， 中， 是边上的高， 是的平分线，则的度数是．

【答案】 /100度

【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出 ，结合高的定义，得 ，因为角平分线的定义得 ，运用三角形的外角性质，即可作答．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∵ 是边上的高，

∴ ，

∴ ，

∵ 是的平分线，

∴ ，

∴ ．

故答案为： ．

23．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，直线 ，直线 ， ，则 ．

【答案】30

【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出的度数，根据三角形的外角的性质，得到 ，即可求出的度数．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ；

故答案为：30．

24．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图， ， ， ．则 ．

【答案】66

【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得 ，根据三角形的外角的性质可得 ，根据平行线的性质，即可求解．

【详解】解：∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

故答案为： ．

25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点为 内部一点，点为射线 、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则．

【答案】 / 度

【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是与 ， 的交点时， 的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．

【详解】解：作关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是与 ， 的交点时， 的周长最短，连接 ，

关于对称，

∴ ，

同理， ， ，

， ，

是等腰三角形．

，

故答案为： ．

26．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边 的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为．

【答案】 /18度

【分析】连接 ， ，根据正多边形的性质可证 ，得到 ，进而得到是 的垂直平分线，即 ，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到 ，再根据三角形的内角和定理即可解答．

【详解】解：连接 ， ，

∵五边形是正五边形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵点F是的中点，

∴ 是的垂直平分线，

∴ ，

∵在正五边形中， ，

∴ ，

∴ ．

故答案为：

【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．

27．（2024·湖南·中考真题）如图，在锐角三角形中， 是边上的高，在 ， 上分别截取线段 ， ，使 ；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线 ，交于点M，过点M作于点N．若 ， ，则．

【答案】6

【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知平分 ，根据角平分线的性质可知 ，结合求出 ， ．

【详解】解：作图可知平分 ，

∵ 是边上的高， ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为：6．

28．（2024·重庆·中考真题）如图，在中，延长至点 ，使 ，过点作 ，且 ，连接交 于点 ．若 ， ，则．

【答案】

【分析】先根据平行线分线段成比例证 ，进而得 ， ，再证明 ，得 ，从而即可得解．

【详解】解：∵ ，过点作 ， ， ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ，

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性质是解题的关键．

29．（2024·陕西·中考真题）如图，在中， ，E是边上一点，连接 ，在右侧作 ，且 ，连接 ．若 ， ，则四边形的面积为．

【答案】60

【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，角平分线的性质，勾股定理：过点作 ， ，根据等边对等角结合平行线的性质，推出 ，进而得到 ，得到 ，进而得到四边形的面积等于 ，设 ，勾股定理求出的长，再利用面积公式求出的面积即可．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 平分 ，

过点作 ， ，

则： ，

∵ ，且 ，

∴ ，

∴四边形的面积 ，

∵ ，

∴ ，

设 ，则： ，

由勾股定理，得： ，

∴ ，

解： ，

∴ ，

∴ ，

∴四边形的面积为60．

故答案为：60．

30．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴正半轴于点M，交y轴正半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点H，画射线 ，若 ，则．

【答案】2

【分析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案．

【详解】解：根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点H横纵坐标相等且为正数；

，

解得： ，

故答案为： ．

31．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中， ， ， ，则的度数为；

【答案】 /100度

【分析】本题考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，角的和差．

根据三角形的内角和可得 ，根据 ， 得到 ， ，从而 ，根据角的和差有 ，即可解答．

【详解】解：∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∴

∴ ．

故答案为：

三、解答题

32．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图， 平分 ， ．求证： ．

【答案】见解析

【分析】利用证明 ，即可证明 ．

【详解】解： 平分 ，

，

在和 中，

，

，

．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握 、 、 、 等全等三角形的判定方法是解题的关键．

33．（2024·四川内江·中考真题）如图，点 、 、 、 在同一条直线上， ， ，

(1)求证： ；

(2)若 ， ，求的度数．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练地掌握全等三角形的判定和性质是解决本题的关键.

（1）先证明 ，再结合已知条件可得结论；

（2）证明 ，再结合三角形的内角和定理可得结论.

【详解】（1）证明：∵

∴ ，即

∵ ，

∴

（2）∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴

34．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， ， ．

若________，则 ．

请从① ；② ；③ 这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．

【答案】①或③（答案不唯一），证明见解析

【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，①根据平行线的性质得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，结合图形即可证明；②得不出相应的结论；③根据全等三角形的判定得出 ，结合图形即可证明；熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．

【详解】解：选择① ；

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 ；

选择② ；

无法证明 ，

无法得出 ；

选择③ ；

∵ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 ；

故答案为：①或③（答案不唯一）

35．（2024·广西·中考真题）如图，在中， ， ．

(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）

(2)在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求的长．

【答案】(1)见详解

(2)

【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交 ， 于点D，E，作直线 ，则直线l即为所求．

（2）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角可得出 ，由三角形内角和得出 ，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长．

【详解】（1）解：如下直线l即为所求．

（2）连接如下图：

∵ 为线段的垂直平分线，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 为等腰直角三角形，

∴ ，

∴

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．

36．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，点D为边的中点，过点B作交 的延长线于点E．

(1)求证： ．

(2)若 ，求证：

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质：

（1）由中点，得到 ，由 ，得到 ，即可得证；

（2）由全等三角形的性质，得到 ，进而推出垂直平分 ，即可得证．

【详解】（1）证明： 为的中点，

．

；

在和 中，

；

（2）证明：

垂直平分 ，

．

37．（2024·云南·中考真题）如图，在和 中， ， ， ．

求证： ．

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“ ”证明 ，即可解决问题．

【详解】证明： ，

，即 ，

在和 中，

，

．

38．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接 ， ， ， 与交于点E．

(1)求证： ；

(2)若 ， ，求的长．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是：

（1）直接利用证明即可；

（2）利用全等三角形的性质可求出 ，利用三线合一性质得出 ， ，在中，利用正弦定义求出 ，即可求解．

【详解】（1）证明：由作图知： ．

在和 中，

．

（2）解： ， ，

．

又 ，

， ．

，

，

．

39．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知： ．

(1)尺规作图：画出的重心 ．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

(2)在（1）的条件下，连接 ， ．已知的面积等于 ，则的面积是______ ．

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；

（1）分别作的中线，交点即为所求；

（2）根据三角形重心的性质可得 ，根据三角形中线的性质可得

【详解】（1）解：如图所示

作法：①作的垂直平分线交于点

②作的垂直平分线交于点

③连接 、 相交于点

④标出点 ，点即为所求

（2）解：∵ 是的重心，

∴

∴

∵ 的面积等于 ，

∴

又∵ 是的中点，

∴

故答案为： ．

40．（2024·福建·中考真题）如图，已知直线 ．

(1)在所在的平面内求作直线 ，使得 ，且与 间的距离恰好等于与 间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）的条件下，若与 间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．

【答案】(1)见解析；

(2) 的面积为1或 ．

【分析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想：

（1）先作出与的垂线，再作出夹在间垂线段的垂直平分线即可；

（2）分 ； ； 三种情况，结合三角形面积公式求解即可

【详解】（1）解：如图，

直线就是所求作的直线．

（2）①当时，

，直线与 间的距离为2，且与 间的距离等于与 间的距离，根据图形的对称性可知： ，

，

．

②当时，

分别过点作直线的垂线，垂足为 ，

．

，直线与 间的距离为2，且与 间的距离等于与 间的距离，

．

， ，

， ，

．

在中，由勾股定理得 ，

．

．

③当时，同理可得， ．

综上所述， 的面积为1或 ．