2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题16 二次函数解答题压轴题（35题）（解析版）

专题16 二次函数解答题压轴题（35题）

一、解答题

1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．

(1)如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为______；

(2)如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称．

①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；

②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；

(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架 ，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架 ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．

【答案】(1)

(2)①此人腾空后的最大高度是米，解析式为 ；②此人腾空飞出后的落点D在安全范围内，理由见解析

(3)这条钢架的长度为米

【分析】（1）根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，设水滑道所在抛物线的解析式为 ，将代入，计算求出a的值即可；

（2）①根据题意可设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，由抛物线的顶点为 ，即可得出结果；②由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为： ，令 ，求出的值，即点的坐标，即可得出结论；

（3）根据题意可得点的纵坐标为4，令中 ，求出符合实际的x值，得到点M的坐标，求出所在直线的解析式为 ，设这条钢架为 ，与交于点G，与地面交于H，根据这条钢架与平行，设该钢架所在直线的解析式为 ，由该钢架与水滑道有唯一公共点，联立 ，根据方程组有唯一解，求出 ，即该钢架所在直线的解析式为 ，点H与点O重合，根据 ， ， ，利用勾股定理即可求解．

【详解】（1）解：根据题意得到水滑道所在抛物线的顶点坐标为 ，且过点 ，

设水滑道所在抛物线的解析式为 ，

将代入，得： ，即 ，

，

水滑道所在抛物线的解析式为 ；

（2）解：① 人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，

则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为 ，

人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，

，

人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为 ，即 ，

∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为： ；

由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为： ，

令 ，则 ，即

或 （舍去，不符合题意），

点 ，

，

，

，

此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；

（3）解：根据题意可得点的纵坐标为4，

令 ，即 ，

（舍去，不符合题意）或 ，

，

设所在直线的解析式为 ，

将代入得： ，

解得： ，

所在直线的解析式为 ，

如图，设这条钢架为 ，与交于点G，与地面交于H，

这条钢架与平行，

设该钢架所在直线的解析式为 ，

联立 ，即 ，

整理得： ，

该钢架与水滑道有唯一公共点，

，

即该钢架所在直线的解析式为 ，

点H与点O重合，

， ， ，

，

这条钢架的长度为米．

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法，二次函数的实际应用，一次函数与二次函数交点问题，勾股定理，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想．

2．（2024·广东深圳·中考真题）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x， 读数为y，抛物线的顶点为C．

(1)（Ⅰ）列表：

（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；

（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；

(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为 ，竖直跨度为 ，且 ， ，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：

方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为 ．

①此时点的坐标为________；

②将点坐标代入中，解得 ________；（用含m，n的式子表示）

方案二：设C点坐标为

①此时点B的坐标为________；

②将点B坐标代入中解得 ________；（用含m，n的式子表示）

(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点， ，且轴，二次函数和 都经过A，B两点，且和 的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．

【答案】(1)图见解析， ；

(2)方案一：① ；② ；方案二：① ；② ；

(3)a的值为或 ．

【分析】（1）描点，连线，再利用待定系数法求解即可；

（2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可；

（3）先求得 ， ， 的顶点坐标为 ，再求得顶点距线段的距离为 ，得到的顶点距线段的距离为 ，得到的顶点坐标为或 ，再分类求解即可．

【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，

观察图象知，函数为二次函数，

设抛物线的解析式为 ，

由题意得 ，

解得 ，

∴y与x的关系式为 ；

（2）解：方案一：①∵ ， ，

∴ ，

此时点的坐标为 ；

故答案为： ；

②由题意得 ，

解得 ，

故答案为： ；

方案二：①∵C点坐标为 ， ， ，

∴ ，

此时点B的坐标为 ；

故答案为： ；

②由题意得 ，

解得 ，

故答案为： ；

（3）解：根据题意和 的对称轴为 ，

则 ， ， 的顶点坐标为 ，

∴ 顶点距线段的距离为 ，

∴ 的顶点距线段的距离为 ，

∴ 的顶点坐标为或 ，

当的顶点坐标为时， ，

将代入得 ，解得 ；

当的顶点坐标为时， ，

将代入得 ，解得 ；

综上，a的值为或 ．

【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，抛物线的平移等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

3．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F： 经过点 ，与y轴交于点 ．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交 于点D，求的最大值及此时点C的坐标；

(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象 ，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．

【答案】(1) ；

(2)最大值为 ，C的坐标为 ；

(3)点G的坐标为 ， ， ．

【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；

（2）根据题意证明 ，再设的解析式为 ，求出的解析式，再设 ，则 ，再表示出利用最值即可得到本题答案；

（3）根据题意求出 ，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案．

【详解】（1）解： ， 代入 ，

得： ，解得： ，

∴抛物线的函数表达式为 ．

（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M．

∴ 轴，

∴ ，

∴ ，

设的解析式为 ，

把 ， 代入解析式得 ，

解得： ，

∴ ．

设 ，则 ，

∴ ，

∵ ， ，

∴当时， 最大，最大值为 ．

∴ 的最大值为 ，此时点C的坐标为 ．

（3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点，

∴ ，

∴ （舍）， ，

∴ ．

∵抛物线F： 的顶点坐标为 ，

∴抛物线的顶点坐标为 ，

∴抛物线的对称轴为直线 ．

如图2，当为对角线时，由题知 ，

∴ ，

∴ ．

如图3，当为边时，由题知 ，

∴ ，

∴ ．

如图4，由题知 ，

∴ ，

∴ ，

综上：点G的坐标为 ， ， ．

4．（2024·天津·中考真题）已知抛物线的顶点为 ，且 ，对称轴与轴相交于点 ，点在抛物线上， 为坐标原点．

(1)当时，求该抛物线顶点的坐标；

(2)当时，求的值；

(3)若是抛物线上的点，且点在第四象限， ，点在线段上，点在线段上， ，当取得最小值为时，求的值．

【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为

(2)10

(3)1

【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解；

（2）过点作 轴，在中，利用勾股定理求得 ，在中，勾股定理求得 ，得该抛物线顶点的坐标为 ，再利用待定系数法求解即可；

（3）过点作 轴，过点作 轴，证明 ，求得点的坐标为 ，在中，利用勾股定理结合题意求得 ，在的外部，作 ，且 ，证明 ，得到 ，当满足条件的点落在线段上时， 取得最小值，求得点的坐标为 ，再利用待定系数法求解即可．

【详解】（1）解： ，得 ．又 ，

该抛物线的解析式为 ．

，

该抛物线顶点的坐标为 ；

（2）解：过点作 轴，垂足为 ，

则 ．

在中，由 ，

．

解得 （舍）．

点的坐标为 ．

，即 ．

抛物线的对称轴为 ．

对称轴与轴相交于点 ，则 ．

在中，由 ，

．

解得负值舍去．

由 ，得该抛物线顶点的坐标为 ．

该抛物线的解析式为 ．

点在该抛物线上，有 ．

；

（3）解：过点作 轴，垂足为 ，

则 ．

．

在中， ．

过点作 轴，垂足为 ，则 ．

，又 ，

．

∴ ， ，

∴点的坐标为 ．

在中， ，

，即 ．

根据题意， ，得 ．

在的外部，作 ，且 ，连接 ，

得 ．

．

∴ ．

．

当满足条件的点落在线段上时， 取得最小值，即 ．

在中， ，

．得 ．

．解得 （舍）．

点的坐标为 ，点的坐标为 ．

点都在抛物线上，

得 ．

．

【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键．

5．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴相交于 ， 两点（点在点左侧），顶点为 ，连接 ．

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1，若是 轴正半轴上一点，连接 ．当点的坐标为时，求证： ；

(3)如图2，连接 ，将沿 轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点 ，与轴负半轴相交于点 ．当时， 与是否相等？请说明理由．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)相等，理由见解析

【分析】（1）根据顶点为 ，利用求出 ，再将代入解析式即可求出 ，即可得出函数表达式；

（2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为 ，求出 ，再利用待定系数法求出直线的解析式为 ，进而求出 ，则 ，利用两点间距离公式求出 ，易证 ，得到 ，由 ，即可证明 ；

（3）过点作 轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出 ，求出 ，根据 ，易证 ，得到 ，由 ，即 ，求出 ，得到 ，即点的横坐标为 ，由折叠的性质得到 ，求出直线的解析式为 ，进而求出 ，得到 ，利用三角形面积公式求出 ，则 ，即可证明结论．

【详解】（1）解： 该抛物线的顶点为 ，即该抛物线的对称轴为 ，

，

，

将代入解析式 ，则 ，

，

抛物线的解析式表达式为 ；

（2）证明：如图1，延长交x轴于点D，

由（1）知抛物线的解析式表达式为 ，则 ，

，

点的坐标为 ，

设直线的解析式为 ，

则 ，

解得：

直线的解析式为 ，则 ，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

（3）解：过点作 轴，交x轴于点G，

令 ，即 ，

解得： ，

根据题意得： ，

，

轴， 轴，

，

，

，

，即 ，

，

，

点的横坐标为 ，

由折叠的性质得到 ，

设直线的解析式为 ，

则 ，

解得： ，

直线的解析式为 ，

，

，

，

，

，

， ，

．

【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键．

6．（2024·吉林·中考真题）小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图（1）所示，输入x的值为时，输出y的值为1；输入x的值为2时，输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6．

(1)直接写出k，a，b的值．

(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图（2）．

Ⅰ．当y随x的增大而增大时，求x的取值范围．

Ⅱ．若关于x的方程 （t为实数），在时无解，求t的取值范围．

Ⅲ．若在函数图像上有点P，Q（P与Q不重合）．P的横坐标为m，Q的横坐标为 ．小明对P，Q之间（含P，Q两点）的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围．

【答案】(1)

(2)Ⅰ： 或 ；Ⅱ： 或 ；Ⅲ： 或

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的额关键．

（1）先确定输入x值的范围，确定好之后将x，y的值代入所给的y关于x的函数解析式种解方程或方程组即可；

（2）Ⅰ：可知一次函数解析式为： ，二次函数解析式为： ，当时， ，对称为直线 ，开口向上，故时，y随着x的增大而增大；当时， ， ，故时，y随着x的增大而增大；

Ⅱ：问题转化为抛物线与直线在 时无交点，考虑两个临界状态，当时，抛物线与直线在 时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在 时没有交点；当 ， ，故当时，抛物线与直线在 时正好一个交点，因此当时，抛物线与直线在 时没有交点，当或 时，抛物线与直线在 时没有交点，即方程无解；

Ⅲ： 可求点P、Q关于直线对称，当 ， ，当时， ，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时， ， 时， ，故①当 ，由题意得： ，则 ；②当 ，由题意得： ，则 ，综上： 或 ．

【详解】（1）解：∵ ，

∴将 ， 代入 ，

得： ，

解得： ，

∵ ，

∴将 ， 代入

得： ，

解得： ；

（2）解：Ⅰ，∵ ，

∴一次函数解析式为： ，二次函数解析式为：

当时， ，对称为直线 ，开口向上，

∴ 时，y随着x的增大而增大；

当时， ， ，

∴ 时，y随着x的增大而增大，

综上，x的取值范围： 或 ；

Ⅱ，∵ ，

∴ ，在时无解，

∴问题转化为抛物线与直线在 时无交点，

∵对于 ，当时，

∴顶点为 ，如图：

∴当时，抛物线与直线在 时正好一个交点，

∴当时，抛物线与直线在 时没有交点；

当 ， ，

∴当时，抛物线与直线在 时正好一个交点，

∴当时，抛物线与直线在 时没有交点，

∴当或 时，抛物线与直线在 时没有交点，

即：当或 时，关于x的方程 （t为实数），在时无解；

Ⅲ：∵ ，

∴ ，

∴点P、Q关于直线对称，

当 ， ，当时， ，

∵当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当时， ， 时， ，

∴①当 ，如图：

由题意得： ，

∴ ；

②当 ，如图：

由题意得： ，

∴ ，

综上： 或 ．

7．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与 轴交于点和点 ，与轴交于点 ．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，连接 ， ，直线交抛物线的对称轴于点 ，若点是直线上方抛物线上一点，且 ，求点的坐标；

(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2) 或 ；

(3) 或或 或

【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；

（2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出 ，连接 ，设交 轴于点 ，则得出是等腰直角三角形，进而得出 ，则点与点重合时符合题意， ，过点作 交抛物线于点 ，得出直线的解析式为 ，联立抛物线解析式，即可求解；

（3）勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点和点 ，

∴

解得：

∴抛物线的解析式为 ；

（2）由 ，当时， ，则

∵ ，则 ，对称轴为直线

设直线的解析式为 ，代入 ，

∴

解得：

∴直线的解析式为 ，

当时， ，则

∴

∴

∴ 是等腰三角形，

∴

连接 ，设交 轴于点 ，则

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ， ，

又

∴

∴

∴点与点重合时符合题意，

如图所示，过点作 交抛物线于点 ，

设直线的解析式为 ，将代入得，

解得：

∴直线的解析式为

联立

解得： ，

∴

综上所述， 或 ；

（3）解：∵ ， ，

∴

∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中

∴ ，

①当时， ，解得： 或

②当时， ，解得：

③当时， ，解得： 或 （舍去）

综上所述， 或或 或 ．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线对称．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当时，y的取值范围是 ，求t的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2

【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．

（1）待定系数法求出函数解析式即可；

（2）分和 ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．

（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线对称，

∴ ，解得： ，

∴ ；

（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，

∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，

∵ 时， ，

①当时，则：当时，函数有最大值，即： ，

解得： 或 ，均不符合题意，舍去；

②当时，则：当时，函数有最大值，即： ，

解得： ；

故 ；

（3）存在；

当时，解得： ，当时， ，

∴ ， ，

设直线的解析式为 ，把代入，得： ，

∴ ，

设 ，则： ，

∴ ， ， ，

当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：

①当为边时，则： ，即 ，

解得： （舍去）或 ，

此时菱形的边长为 ；

②当为对角线时，则： ，即： ，

解得： 或 （舍去）

此时菱形的边长为： ；

综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．

9．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与 轴交于点 ， ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图 ，抛物线与轴交于点 ，点为线段上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交抛物线于点 ， ，设面积为 ， 面积为 ，求的值；

(3)如图 ，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ， ，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；

（ ）设 ，直线为 ，求出 ，直线为 ，求出 ，联立方程组得 ， ，再根据 ， 即可求解；

（ ）设直线为 ，由得 ，得 ，设 ， ，联立直线与抛物 ，得 ，根据根与系数的关系可得： ， ，作点关于直线的对称点 ，连接 ，则有 ，过点作于F，则 ，则 ， ，根据勾股定理得 ，即可求出最小值．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点 ， ，

，

解得 ，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）设 ，直线为 ，据题意得，

，解得 ，

∴ ，

联立得 ，

解得或 ，

∴ ，

设 ，直线为 ，据题意得，

，解得 ，

∴ ，

联立得 ，

解得或 ，

∴ ，

，

，

∴ ；

（3）设直线为 ，由得 ，

∴ ，

∴ ，

设 ， ，

联立直线与抛物线 ，

得 ，

，

根据根与系数的关系可得： ， ，

作点关于直线的对称点 ，连接 ，

由题意得直线 ，则 ，

∴ ，

过点作于F，则 ．

则 ， ，

在中，

，

即当时， ，此时 ，

故的最小值为 ．

【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

10．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： 与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为 ， 是抛物线第四象限上一点．

(1)求线段的长；

(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；

(3)延长交 轴于点 ，当时，将沿 方向平移得到 ．将抛物线平移得到抛物线 ，使得点 ， 都落在抛物线上．试判断抛物线与 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)抛物线与 交于定点

【分析】（1）根据题意可得 ，整理得 ，即可知则有 ；

（2）由题意得抛物线 ： ，则设 ，可求得 ，结合题意可得直线解析式为 ，设直线与抛物线对称轴交于点E，则 ，即可求得 ，进一步解得点 ，过D作于点H，则 ，即可求得 ；

（3）设可求得直线解析式为 ，过点D作 ，可得 ，结合题意得设抛物线解析式为 ，由于过点 ， 可求得抛物线解析式为 ，根据解得 ，即可判断抛物线与 交于定点 ．

【详解】（1）解：∵抛物线 ： 与轴交于A，B两点，

∴ ，整理得 ，解得

∴

则 ；

（2）当时，抛物线 ： ，

则

设 ，则 ，

设直线解析式为 ，

∵点D在直线上，

∴ ，解得 ，

则直线解析式为 ，

设直线与抛物线对称轴交于点E，则 ，

∴ ，

∵ 的面积与的面积相等，

∴ ，解得 ，

∴点 ，

过点D作于点H，则 ，

则 ；

（3）设直线解析式为 ，

则 ，解得 ，

那么直线解析式为 ，

过点D作 ，如图，

则 ，

∵ ，

∴ ，

∵将沿 方向平移得到 ，

∴

由题意知抛物线平移得到抛物线 ，设抛物线解析式为 ，

∵点 ， 都落在抛物线上

∴ ，

解得 ，

则抛物线解析式为

∵

整理得 ，解得 ，

∴抛物线与 交于定点 ．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．

11．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与 轴交于点和点 ，与轴交于点 ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当时，求的函数值的取值范围；

(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点 ，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3) 的最小值为：

【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；

（2）求解的对称轴为直线 ，而 ，再利用二次函数的性质可得答案；

（3）求解 ， ，可得 ，求解直线为 ，及 ，证明在直线上，如图，过作 于 ，连接 ，过作 于 ，可得 ， ，证明 ，可得 ，可得 ，再进一步求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点 ，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为： ；

（2）解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ，

∴函数最小值为： ，

当时， ，

当时， ，

∴函数值的范围为： ；

（3）解：∵ ，

当时， ，

∴ ，

当时，

解得： ， ，

∴ ，

∴ ，

设直线为 ，

∴ ，

∴ ，

∴直线为 ，

∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点 ，而顶点为 ，

∴ ，

∴ 在直线上，

如图，过作 于 ，连接 ，过作 于 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∵对称轴与轴平行，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

由抛物线的对称性可得： ， ，

∴ ，

当三点共线时取等号，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

即的最小值为： ．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．

12．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．

(1)求的值；

(2)若点在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

(3)设的图像与轴交点为 ， ．若 ，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；

(3)

【分析】（1）把点代入可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；

（2）把点代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次函数的性质可得答案；

（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，再建立不等式组求解即可.

【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线为： ，

∴抛物线的对称轴为直线 ，

∴ ；

（2）解：∵点在 的图像上，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线为 ，

将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：

，

∵ ，

∴当时，函数有最小值为 ，

当时，函数有最大值为

∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；

（3）∵ 的图像与轴交点为 ， ．

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 即 ，

解得： .

【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.

13．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和 ．

(1)求平移后新抛物线的表达式；

(2)直线 （ ）与新抛物线交于点P，与原抛物线交于点Q．

①如果小于3，求m的取值范围；

②记点P在原抛物线上的对应点为 ，如果四边形有一组对边平行，求点P的坐标．

【答案】(1) 或 ；

(2)① ；② ．

【分析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为 ，把和 代入可得答案；

（2）①如图，设 ，则 ， ，结合小于3，可得 ，结合 ，从而可得答案；②先确定平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，由题意可得： 在的右边，当时，可得 ，结合平移的性质可得答案如图，当时，则 ，过作 于 ，证明 ，可得 ，设 ，则 ， ， ，再建立方程求解即可.

【详解】（1）解：设平移抛物线后得到的新抛物线为 ，

把和 代入可得：

，

解得： ，

∴新抛物线为 ；

（2）解：①如图，设 ，则 ，

∴ ，

∵ 小于3，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

②∵ ，

∴平移方式为，向右平移2个单位，向下平移3个单位，

由题意可得： 在的右边，当时，

∴ 轴，

∴ ，

∴ ，

由平移的性质可得： ，即 ；

如图，当时，则 ，

过作 于 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ， ，

∴ ，

解得： （不符合题意舍去）；

综上： ；

【点睛】本题属于二次函数的综合题，抛物线的平移，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质 ，相似三角形的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

14．（2024·四川遂宁·中考真题）二次函数的图象与轴分别交于点 ，与轴交于点 ， 为抛物线上的两点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)当两点关于抛物线对称轴对称， 是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；

(3)设的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在，最小值为

【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．

（1）用待定系数法求解即可；

（2）可求 ，设 ，由 ，得 ，则

，解得 ， （舍去），故 ；

（3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求最值即可．

【详解】（1）解：把 ， 代入得，

，解得 ，

∴二次函数的表达式为 ；

（2）解：如图：

由得抛物线对称轴为直线 ，

∵ 两点关于抛物线对轴对称，

∴ ，

设 ，

∵ ，

∴ ，

∴

，

整理得， ，

解得 ， （舍去），

∴ ，

∴ ；

（3）存在，理由：

当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，

设点 ，则点 ，设直线交 轴于点 ，

设直线表达式为： ，

代入 ，

得： ，

解得： ，

∴直线的表达式为： ，

令 ，得

则 ，

则 ，

则

，

即存在最小值为 ；

当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，

同上可求直线表达式为： ，

令 ，得

则 ，

则 ，

则

即存在最小值为 ；

当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求 ，

即存在最小值为 ，

综上所述， 的面积是否存在最小值，且为 ．

15．（2024·四川凉山·中考真题）如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点 ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点 ，交直线于点 ，当时，求点坐标；

(3)抛物线上是否存在点使 的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线的解析式为

(2) 的坐标为

(3) 的坐标为或 或或

【分析】（1）把代入求出 ，再用待定系数法可得抛物线的解析式为 ；

（2）设 ，则 ， ，由 ，可得 ，解出的值可得的坐标为 ；

（3）过作 轴交直线于 ，求出 ，知 ，故 ，设 ，则 ，可得 ， ，根据的面积等于面积的一半，有 ，可得 ，即或 ，解出的值可得答案．

【详解】（1）解：把代入得： ，

，

把 ， 代入得：

，

解得 ，

抛物线的解析式为 ；

（2）解：设 ，则 ， ，

，

，

解得或 （此时不在直线上方，舍去）；

的坐标为 ；

（3）解：抛物线上存在点 ，使的面积等于面积的一半，理由如下：

过作 轴交直线于 ，过点B作 ，延长交x轴于点F，如图：

在中，令得 ，

解得或 ，

， ，

，

，

，

设 ，则 ，

，

∵

，

的面积等于面积的一半，

，

，

或 ，

解得或 ，

的坐标为或 或或 ．

【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．

16．（2024·江苏连云港·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （a、b为常数， ）．

(1)若抛物线与轴交于 、 两点，求抛物线对应的函数表达式；

(2)如图，当时，过点 、 分别作轴的平行线，交抛物线于点M、N，连接 ．求证： 平分 ；

(3)当 ， 时，过直线上一点作 轴的平行线，交抛物线于点 ．若的最大值为4，求的值．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）连接 ，根据题意，求得 ， ，进而求出 ， ，利用勾股定理求出 ，求出 ，从而得到 ，结合平行线的性质即可证明结论；

（3）设 ，则 ， ，求出当时， ，得到点在 的上方，设 ，故 ，其对称轴为 ，分为和 两种情况讨论即可．

【详解】（1）解：分别将 ， 代入 ，

得 ，

解得 ．

函数表达式为 ；

（2）解：连接 ，

，

．

当时， ，即点 ，当时， ，即点 ．

， ，

， ， ，

在中， ．

，

，

．

，

．

．

平分 ．

（3）解：设 ，则 ， ．

当时， ．

令 ，

解得 ， ．

，

，

点在 的上方（如图1）．

设 ，

故 ，

其对称轴为 ，且 ．

①当时，即 ．

由图2可知：

当时， 取得最大值 ．

解得或 （舍去）．

②当时，得 ，

由图3可知：

当时， 取得最大值 ．

解得 （舍去）．

综上所述， 的值为 ．

【点睛】本题考查抛物线与角度的综合问题，抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式及最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值．

17．（2024·江苏苏州·中考真题）如图①，二次函数的图象与开口向下的二次函数图象均过点 ， ．

(1)求图象对应的函数表达式；

(2)若图象过点 ，点P位于第一象限，且在图象上，直线l过点P且与x轴平行，与图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求点P的坐标；

(3)如图②，D，E分别为二次函数图象 ， 的顶点，连接 ，过点A作 ．交图象于点F，连接EF，当时，求图象对应的函数表达式．

【答案】(1)

(2)点P的坐标为

(3)

【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；

（2）可求对应的函数表达式为： ，其对称轴为直线 ．作直线 ，交直线l于点H．（如答图①）由二次函数的对称性得， ， ，由 ，得到 ，设 ，则点P的横坐标为 ，点M的横坐标为 ， ， ，故有 ，解得 ， （舍去），故点P的坐标为 ；

（3）连接 ，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J，（如答图②），则四边形为矩形，设对应的函数表达式为 ，可求 ， ，则 ， ， ，而 ，则 ．设 ，则 ， ， ，即 ，可得 ，故 ，则 ，则 ①，由点F在上，得到 ，化简得 ②，由①，②可得 ，解得 ，因此 ，故的函数表达式为 ．

【详解】（1）解：（1）将 ， 代入 ，得，

，

解得：

对应的函数表达式为： ；

（2）解：设对应的函数表达式为 ，将点代入

得： ，

解得： ．

对应的函数表达式为： ，其对称轴为直线 ．

又图象的对称轴也为直线 ，

作直线 ，交直线l于点H（如答图①）

由二次函数的对称性得， ，

∴ ．

又 ，而

．

设 ，则点P的横坐标为 ，点M的横坐标为 ．

将代入 ，得 ，

将代入 ，得 ．

， ，

即 ，解得 ， （舍去）．

点P的坐标为 ；

（3）解：连接 ，交x轴于点G，过点F作于点I，过点F作轴于点J．（如答图②）

， 轴， 轴，

四边形为矩形，

， ．

设对应的函数表达式为 ，

点D，E分别为二次函数图象 ， 的顶点，

将分别代入 ，

得 ，

∴ ， ，

， ， ．

在中， ．

，

．

又 ，

．

．

设 ，则 ， ．

，

．

，

．

，

．

又 ，

，

①

点F在上，

，

即 ．

，

②

由①，②可得 ．

解得 （舍去）， ，

．

的函数表达式为 ．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．

18．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点 ．经过点的直线与该二次函数图象交于点 ，与轴交于点 ．

(1)求二次函数的解析式及点的坐标；

(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作 轴于点 ，与直线交于点 ，设点的横坐标为 ．

① 为何值时线段的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点 ，使得与 相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ，

(2)①当时， 有最大值为 ；②当P的坐标为或 时， 与相似

【分析】（1）把 ， ， 代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；

（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；

②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ， 两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．

【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，

得 ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为 ，

设直线解析式为 ，

则 ，

解得 ，

∴直线解析式为 ，

当时， ，

∴ ；

（2）解：①设 ，则 ，

∴

，

∴当时， 有最大值为 ；

②∵ ， ，

∴ ，

又 ，

∴ ，

又轴，

∴ 轴，

∴ ，

当时，如图，

∴ ，

∴ 轴，

∴P的纵坐标为3，

把代入 ，得 ，

解得 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴P的坐标为 ；

当时，如图，过B作于F，

则 ， ，

又 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得 ， （舍去），

∴ ，

∴P的坐标为

综上，当P的坐标为或 时， 与相似．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．

19．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．

(1)若抛物线与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．试判断下列每组数据的大小（填写 、 或 ）：

① ________ ；② ________ ；③ ________ ．

(2)若 ， ，求b的取值范围；

(3)当时， 最大值与最小值的差为 ，求b的值．

【答案】(1) ； ； ；

(2)

(3)b的值为或 或 ．

【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质．

（1）根据根与系数的关系得到 ，以及 ，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到 ，进而得到 ，利用不等式性质变形，即可判断②③．

（2）根据题意得到 ，结合进行求解，即可解题；

（3）根据题意得到抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 ；当时， ，当时， ，由最大值与最小值的差为 ，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题．

【详解】（1）解： 与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ，

，且抛物线开口向上，

与x轴交点的坐标分别为 ， ，且 ．

即向上平移1个单位，

，且 ，

① ；

，

，即② ；

，即③ ．

故答案为； ； ； ；

（2）解： ， ，

，

，

；

（3）解：抛物线顶点坐标为 ，

对称轴为 ；

当时， ，

当时， ，

①当在取得最大值，在取得最小值时，

有 ，解得 ；

②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，

有 ，解得 （舍去）或 ，

③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，

有 ，解得 （舍去）或 ；

综上所述，b的值为或 或 ．

20．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点 ，顶点为Q．抛物线 （其中t为常数，且 ），顶点为P．

(1)直接写出a的值和点Q的坐标．

(2)嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上．

淇淇说：无论t为何值， 总经过一个定点．

请选择其中一人的说法进行说理．

(3)当时，

①求直线PQ的解析式；

②作直线 ，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标．

(4)设与 的交点A，B的横坐标分别为 ，且 ．点M在上，横坐标为 ．点N在上，横坐标为 ．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n．

【答案】(1) ，

(2)两人说法都正确，理由见解析

(3)① ；② 或

(4)

【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标；

（2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为： ，再检验即可，再根据函数化为 ，可得函数过定点；

（3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当 （等于6两直线重合不符合题意），可得 ，可得交点 ，交点 ，再进一步求解即可；

（4）如图，由题意可得是由通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交 于 ，连接 ， ， ， ，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与 重合， 与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可．

【详解】（1）解：∵抛物线过点 ，顶点为Q．

∴ ，

解得： ，

∴抛物线为： ，

∴ ；

（2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为： ，

当时，

∴ ，

∴ 在上，

∴嘉嘉说法正确；

∵

，

当时， ，

∴ 过定点 ；

∴淇淇说法正确；

（3）解：①当时，

，

∴顶点 ，而 ，

设为 ，

∴ ，

解得： ，

∴ 为 ；

②如图，当 （等于6两直线重合不符合题意），

∴ ，

∴交点 ，交点 ，

由直线 ，设直线为 ，

∴ ，

解得： ，

∴直线为： ，

当时， ，

此时直线与 轴交点的横坐标为 ，

同理当直线过点 ，

直线为： ，

当时， ，

此时直线与 轴交点的横坐标为 ，

（4）解：如图，∵ ， ，

∴ 是由通过旋转 ，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，

如图，连接交 于 ，连接 ， ， ， ，

∴四边形是平行四边形，

当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，

此时与 重合， 与重合，

∵ ， ，

∴ 的横坐标为 ，

∵ ， ，

∴ 的横坐标为 ，

∴ ，

解得： ；

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．

21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点 ，其顶点为D．

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接 ，以为边在的下方作等边三角形 ，连接 ．求的取值范围．

【答案】(1)抛物线的表达式为 ，顶点D的坐标为 ；

(2)点M的坐标为 ；

(3) 的取值范围为 ．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）作点B关于原点的对称点 ，连接交 轴于点M，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；

（3）以为边在的下方作等边三角形 ，得到点在以为圆心，1为半径的上，据此求解即可．

【详解】（1）解：由于抛物线经过点和点 ，

∴ ，

∴ ，

∴抛物线的表达式为 ，

∴顶点D的坐标为 ；

（2）解：∵点 ，对称轴为直线 ，

∴点 ，

∵ ， ，

∴ 长为定值，

作点B关于原点的对称点 ，则 ，连接交 轴于点M，

则 ，

∴ ，此时的周长最小，

设直线的解析式为 ，

则 ，

解得 ， ，

∴直线的解析式为 ，

令 ，则 ，

∴点M的坐标为 ；

（3）解：以为边在的下方作等边三角形 ，作轴于点 ，连接 ， ，

∵等边三角形 ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴ ， ， ，

∵ ，

∴ ，

∴点在以为圆心，1为半径的上，

，

当点在线段上时， 有最小值为 ；

当点在射线上时， 有最大值为 ；

∴ 的取值范围为 ．

【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法确定函数的解析式，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．

22．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点 ，点 ， 是此二次函数的图像上的两个动点．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证的值为定值；

(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线上，且横坐标为 ，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．

【答案】(1)

(2)为定值3，证明见解析

(3)

【分析】（1）用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线的解析式， ，则 ， ，表示出 ， ，代入即可求解；

（3）设 ，则 ，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值．

【详解】（1）∵二次函数的图像经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）当时， ，

∴ ，

∴ ，

设直线的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ， ．

∴ ，

∴ 的值为定值；

（3）设 ，则 ，

设直线的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当时，

，

∴当时，线段长度的最大值 ．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．

23．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．

(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；

(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．

（1）把代入后再将抛物线化成顶点式为 ，即可求顶点坐标；

（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；

（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．

【详解】（1）解：当时，抛物线 ．

∴顶点坐标 ．

（2）令 ，则 ，

∴ ，

∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，

∴“完美点”的个数为4个或5个．

∵ ，

∴当“完美点”个数为4个时，分别为 ， ， ， ；

当“完美点”个数为5个时，分别为 ， ， ， ， ．

∴ ．

∴a的取值范围是 ．

（3）根据 ，

得抛物线的顶点坐标为 ，过点 ， ， ．

∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，

显然，“完美点” ， ， 符合题意．

下面讨论抛物线经过 ， 的两种情况：

①当抛物线经过时，解得此时， ， ， ．

如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ，共4个．

②当抛物线经过时，解得此时， ， ， ．

如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ， ， ，共6个．

∴a的取值范围是 ．

24．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与 轴交于点和点 ，与轴交于点 ，点在抛物线上．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；

(3)在直线上是否存在点 ，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)抛物线的解析式为

(2) 的坐标为或

(3) 的坐标为或 或或

【分析】（1）利用待定系数法求解；

（2）过作 轴交于 ，求出直线解析式，根据列式求解；

（3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作 轴于 ，过作 轴于 ，分以下情况分别讨论即可：① 与重合， 与重合时；②当在第一象限， 在第四象限时；③当在第四象限， 在第三象限时；④当在第四象限， 在第一象限时．

【详解】（1）解：把 ， 代入得：

，

解得 ，

抛物线的解析式为 ；

（2）解：过作 轴交于 ，如图：

由 ， 得直线解析式为 ，

设 ，则 ，

，

的面积为3，

，即 ，

解得或 ，

的坐标为或 ；

（3）解：在直线上存在点 ，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：

在中，令得 ，

解得或 ，

， ，

由 ， 得直线解析式为 ，

设 ， ，

过作 轴于 ，过作 轴于 ，

① ，

当与 重合， 与重合时， 是等腰直角三角形，如图：

此时 ；

②当在第一象限， 在第四象限时，

是以为斜边的等腰直角三角形，

， ，

，

，

，

， ，

，

解得 （ 小于0，舍去）或 ，

，

的坐标为 ；

③当在第四象限， 在第三象限时，如图：

是以为斜边的等腰直角三角形，

， ，

，

，

，

， ，

同理可得 ，

解得或 （大于0，舍去），

，

的坐标为 ；

④当在第四象限， 在第一象限，如图：

是以为斜边的等腰直角三角形，

， ，

，

，

，

， ，

，

解得 （舍去）或 ，

，

的坐标为 ；

综上所述， 的坐标为或 或或 ．

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．

25．（2024·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于 ， 两点，其中点 ， ．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)过点作 轴交抛物线于点 ，连接 ，在抛物线上是否存在点使 ．若存在，请求出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．（提示：依题意补全图形，并解答）

(3)将该抛物线向左平移个单位长度得到 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 ，点为原抛物线对称轴上的一点， 是平面直角坐标系内的一点，当以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点F的坐标．

【答案】(1)

(2)存在，点坐标为 ， ，补图见解析

(3) 、 、 、

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；

（2）根据平行线的性质可得 ，求得 ，进而分别求得 ， ，根据可得 ，设直线交 轴于点 ，则 ， ．进而可得 ， 的解析式为 ， ，连接交抛物线于 ，连接交抛物线于 ，进而联立抛物线与直线解析式，解方程，即可求解．

（3）①以为对角线，如图作的垂直平分线交 于点交直线于 ，设 ，根据两点距离公式可得 ，根据中点坐标公式可得 ，②以为边，如图以为圆心， 为半径画圆交直线于点 ， ；连接 ， ，根据勾股定理求得 ，进而得出 ， ，根据平移的性质得出 ， ，③以为边，如图以点为圆心， 长为半径画圆交直线于点和 ，连接 ， ，则 ，过点作 于点 ，则 ，在和 中，由勾股定理得 ，则 、 ，根据 ，可得 ，过点作 ，过作 ， 和相交于点 ， 的中点 ．根据中点坐标公式可得 ；

【详解】（1）解：∵把点 ， 代入得

，

解得 ，

∴ ．

（2）存在．

理由：∵ 轴且 ，

∴ ，

∴ （舍去）， ，

∴ ．

过点作 于点 ，

在中，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ．

设直线交 轴于点 ，

， ，

∴ ， ．

连接交抛物线于 ，连接交抛物线于 ，

∴ ， 的解析式为 ， ，

∴ ，解得 ，

或 ，解得 ．

∴把 ， 代入得 ， ，

∴ ， ．

综上所述，满足条件的点坐标为 ， ．

（3） 、 、 、 ．

方法一：

①以为对角线，如图作的垂直平分线交 于点交直线于

∵ ， ，

∴ ．

设 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 是的中点，

．

②以为边

如图以为圆心， 为半径画圆交直线于点 ， ；连接 ， ，

过点作 ，过点作 ， 和相交于点 ，同理可得

， ，

，

．

过点作 直线于点 ，则 ；

在和 中，由勾股定理得，

，

， ．

点是由点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到的，

， ，

③以为边

如图以点为圆心， 长为半径画圆交直线于点和 ，

连接 ， ，则 ，

过点作 于点 ，则 ，在和 中，由勾股定理得，

，

、 ，

，

，

、 、 三点共线，

过点作 ，过作 ，

和相交于点 ，

∵ 、 ，

的中点 ．

，点为 的中点，

．

综上所述： 、 、 、 ．

26．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

(3)当时，求点P的坐标；

(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接 ，则的最小值为______．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．

（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；

（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；

（3）先证明可得 ，设 ，则 ,可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；

（4）如图：将线段向右平移单位得到 ,即四边形是平行四边形，可得 ,即 ，作关于对称轴的点 ,则 ，由两点间的距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得即可解答．

【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴当时， ，即 ；当时， ，即 ；

∵ ，

∴设抛物线的解析式为 ，

把代入可得： ，解得： ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为： ．

（2）解：∵ ， ，

∴ ,

∴ ，

如图：当 ，

∴ ,即 ；

如图：当 ，

∴ ,即 ；

如图：当 ，

∴ ,即 ；

综上，点D的坐标为 ．

（3）解：如图：∵ 轴，

∴ ，

∵ 轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ,

∴ ,

∵设 ，则 ,

∴ ，

∴ ，解得： （负值舍去），

当时， ，

∴ ．

（4）解： ∵抛物线的解析式为： ，

∴抛物线的对称轴为：直线 ，

如图：将线段向右平移单位得到 ,

∴四边形是平行四边形，

∴ ,即 ,

作关于对称轴的点 ,则

∴ ,

∵ ，

∴ 的最小值为 ．

故答案为 ．

27．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于 ， 两点，交轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作 轴交抛物线于点 ，作于点 ，求的最大值及此时点的坐标；

(3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交 轴于点 ，点为平移后的抛物线上一点，若 ，请直接写出所有符合条件的点的坐标．

【答案】(1)

(2) 最大值为 ； ；

(3) 或

【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；

（2）如图，延长交 轴于 ，过作 轴于 ，求解 ，可得 ，证明 ，设 ， ， ，再建立二次函数求解即可；

（3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为： ， ，如图，当在 轴的左侧时，过作 轴于 ，证明 ，可得 ，证明 ，如图，当在 轴的右侧时，过作 轴的垂线，过作 过的垂线于 ，同理可得： ，再进一步结合三角函数建立方程求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 ， 两点，交轴于点 ，抛物线的对称轴是直线 ，

∴ ，

解得 ，

∴ ；

（2）解：如图，延长交 轴于 ，过作 轴于 ，

∵当时，

解得： ， ，

∴ ，

当时， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

设为 ，

∴ ，解得： ，

∴直线为： ，

设 ，

∴ ，

∴ ，

∵抛物线的对称轴为直线 ，

∴ ，

∴

，

当时， 取得最大值，最大值为 ；

此时 ；

（3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，

∴新的抛物线为： ， ，

如图，当在 轴的左侧时，过作 轴于 ，

∵ ，

同理可得：直线为 ，

当时， ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，

∴ ，

解得： 或 （舍去）

∴ ；

如图，当在 轴的右侧时，过作 轴的垂线，过作 过的垂线于 ，

同理可得： ，

设 ，则 ，

同理可得： ，

∴ 或 （舍去），

∴ ．

【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．

28．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点 ，与轴交于点 ，与轴交于两点（ 在的左侧），连接 ．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作 轴，垂足为 ，交于点 ．点是线段上一动点， 轴，垂足为 ，点为线段的中点，连接 ．当线段长度取得最大值时，求的最小值；

(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点 ，且与直线相交于另一点 ．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．

【答案】(1) ；

(2) 的最小值为 ；

(3)符合条件的点的坐标为或 ．

【分析】（1）利用正切函数求得 ，得到 ，再利用待定系数法即可求解；

（2）求得 ，利用待定系数法求得直线的解析式，设 ，求得最大，点 ，再证明四边形是平行四边形，得到 ，推出当共线时， 取最小值，即取最小值，据此求解即可；

（3）求得 ，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式 ，再分两种情况讨论，计算即可求解．

【详解】（1）解：令 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

将和 代入得 ，

解得 ，

∴抛物线的表达式为 ；

（2）解：令 ，则 ，

解得或 ，

∴ ，

设直线的解析式为 ，

代入 ，得 ，

解得 ，

∴直线的解析式为 ，

设 （ ），则 ，

∴ ，

∵ ，

∴当时， 最大，此时 ，

∴ ， ， ，

∴ ， ，

连接 ，

∴四边形是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

∴当共线时， 取最小值，即取最小值，

∵点为线段的中点，

∴ ，

∴ ，

∴ 的最小值为 ；

（3）解：由（2）得点的横坐标为 ，代入 ，得 ，

∴ ，

∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到，

∴ ，

过点作 交抛物线于点 ，

∴ ，

同理求得直线的解析式为 ，

∵ ，

∴直线的解析式为 ，

联立得 ，

解得 ， ，

当时， ，

∴ ，

作关于直线的对称线得交抛物线于点 ，

∴ ，

设交 轴于点 ，

由旋转的性质得到 ，

过点作 轴，作轴于点 ，作于点 ，

当时， ，

解得 ，

∴

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

同理直线的解析式为 ，

联立 ，

解得或 ，

当时， ，

∴ ，

综上，符合条件的点的坐标为或 ．

【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．

29．（2024·广东广州·中考真题）已知抛物线过点和点 ，直线过点 ，交线段于点 ，记的周长为 ， 的周长为 ，且 ．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)求的值；

(3)直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线 ，当时，直线交抛物线于 ， 两点．

①求的值；

②设的面积为 ，若对于任意的 ，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．

【答案】(1)对称轴为直线： ；

(2)

(3)① ，② 的最大值为 ，抛物线为 ；

【分析】（1）直接利用对称轴公式可得答案；

（2）如图，由 ，可得在 的左边， ，证明 ，可得 ，设 ，建立 ，可得： ， ，再利用待定系数法求解即可；

（3）①如图，当时，与抛物线交于 ，由直线 ，可得 ，可得 ，从而可得答案；②计算 ，当时， 可得 ，则 ， ，可得 ，可得当时， 的最小值为 ，再进一步求解可得答案．

【详解】（1）解：∵抛物线 ，

∴抛物线对称轴为直线： ；

（2）解：∵直线过点 ，

∴ ，

如图，

∵直线过点 ，交线段于点 ，记的周长为 ， 的周长为 ，且 ，

∴ 在的左边， ，

∵ 在抛物线的对称轴上，

∴ ，

∴ ，

设 ，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ；

（3）解：①如图，当时，与抛物线交于 ，

∵直线 ，

∴ ，

∴ ，

解得： ，

②∵ ，

当时， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴

，

∵ ，

∴当时， 的最小值为 ，

∴此时 ，

∵对于任意的 ，均有成立，

∴ 的最大值为 ，

∴抛物线为 ；

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，一次函数的性质，坐标与图形面积，一元二次方程根与系数的关系，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键．

30．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ，点坐标为 ，点坐标为 ．

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作 轴的垂线交直线于点 ，过点作 轴的垂线，垂足为点 ，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．

(3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

【答案】(1)

(2) 的最大值为 ， 点的坐标为

(3)点的坐标为或

【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；

（2）先求解 ，及直线为 ，设 ，可得 ，再建立二次函数求解即可；

（3）如图，以为对角线作正方形 ，可得 ， 与抛物线的另一个交点即为 ，如图，过作 轴的平行线交轴于 ，过作 于 ，则 ，设 ，则 ，求解 ，进一步求解直线为： ，直线为 ，再求解函数的交点坐标即可.

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ，点坐标为 ，点坐标为 ．

∴ ；

（2）解：当时， ，

∴ ，

设直线为 ，

∴ ，解得： ，

∴直线为 ，

设 ，

∴ ，

∴

；

当时，有最大值 ；

此时 ；

（3）解：如图，以为对角线作正方形 ，

∴ ，

∴ 与抛物线的另一个交点即为 ，

如图，过作 轴的平行线交轴于 ，过作 于 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

设 ，则 ，

∴ ,

∴ ，

由可得：

∴ ，

解得： ，

∴ ，

设为： ，

∴ ，解得： ，

∴直线为： ，

∴ ，

解得： 或 ，

∴ ，

∵ ， ， ，正方形 ，

∴ ，

同理可得：直线为 ，

∴ ，

解得： 或 ，

∴ ，

综上：点的坐标为或 .

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

31．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ， ， ，对称轴为直线 ，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线 ，抛物线与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴为直线 ．

(1)分别求抛物线和 的表达式；

(2)如图 ，点的坐标为 ，动点在直线上，过点作 轴与直线交于点 ，连接 ， ．求的最小值；

(3)如图 ，点的坐标为 ，动点在抛物线上，试探究是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ，

(2)

(3)存在， 或

【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解；

（2）将点F向右平移2个单位至 ，则 ， ，过点D作直线的对称点为 ，连接 ，则四边形为平行四边形，则 ， ，因此 ，即可求解；

（3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得 ，作H关于直线的对称点 ，则点在直线上，可求直线的表达式为 ，联立 ， 解得： 或 （舍），故 ；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则 ，可得 ，可证明出 ，由 ，得 ，设 ，则 ， ，在和 中，由勾股定理得 ，解得： 或 （舍），所以 ，可求直线表达式为： ，联立 ，解得： 或 （舍），故 ．

【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G，

由题意得 ，

∵对称轴为直线 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

将A、B、C分别代入 ，

得： ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，顶点为

∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线 ，

∴抛物线的 ，顶点为 ，

∴ 的表达式为： ，即

（2）解：将点F向右平移2个单位至 ，则 ， ，过点D作直线的对称点为 ，连接 ，

∴ ，

∵ ，

∴直线为直线 ，

∵ 轴，

∴ ，

对于抛物线 ，令 ，则 ，

∴ ，

∵点D与点关于直线对称，

∴点 ，

∵ 轴， ，

∴四边形为平行四边形，

∴ ，

∴ ，

当点三点共线时，取得最小值，

而 ，

∴ 的最小值为 ；

（3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图：

∵抛物线 ，

∴

∵ 轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

作H关于直线的对称点 ，则点在直线上，

∵点的坐标为 ，直线 ： ，

∴ ，

设直线的表达式为： ，

代入 ， ,

得： ，

解得： ，

∴直线的表达式为 ，

联立 ，得： ，

解得： 或 （舍），

∴ ；

②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则 ，如图：

∵ 垂直平分 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵

∴ ，

∴ ，

由点

得： ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，

∴ ， ，

在和 中，由勾股定理得 ，

∴ ，

解得： 或 （舍）

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设直线表达式为： ，

代入点N，E，

得： ，

解得：

∴直线表达式为： ，

联立 ，

得： ，

整理得：

解得： 或 （舍），

∴ ，

综上所述， 或 ．

【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．

32．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O， 两点，顶点为 ．点C为的中点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．

(3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形 ．

①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3，连接 ， ，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)① ②

【分析】（1）根据顶点为 ．设抛物线 ，把代入解析式，计算求解即可；

（2）根据顶点为 ．点C为的中点，得到 ，当时， ，得到 ．结合 ，垂足为H，得到的长．

（3）①根据题意，得 ，结合四边形是平行四边形，设 ，结合点F落在抛物线上，得到 ，解得即可；

②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接 ， ， ，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．

【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为 ．

设抛物线 ，

把代入解析式，得 ，

解得 ，

∴ ．

（2）∵顶点为 ．点C为的中点，

∴ ，

∵ ，

∴ 轴，

∴E的横坐标为1，

设 ，

当时， ，

∴ ．

∴ ．

（3）①根据题意，得 ，

∵四边形是平行四边形，

∴点C，点F的纵坐标相同，

设 ，

∵点F落在抛物线上，

∴ ，

解得 ， (舍去)；

故 ．

②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接 ， ， ，

则四边形是矩形，

∴ ，

∵四边形是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

∴四边形是平行四边形，

∴ ，

∵ ，

故当三点共线时， 取得最小值，

∵ ，

∴ 的最小值，就是的最小值，且最小值就是 ，

延长交y轴于点M，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故的最小值是 ．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．

33．（2024·湖北·中考真题）如图1，二次函数交 轴于和 ，交轴于 ．

(1)求的值．

(2) 为函数图象上一点，满足 ，求点的横坐标．

(3)如图2，将二次函数沿水平方向平移，新的图象记为与 轴交于点 ，记 ，记顶点横坐标为 ．

①求与 的函数解析式．

②记与 轴围成的图象为与 重合部分（不计边界）记为 ，若随 增加而增加，且内恰有2个横坐标与纵坐标均为整数的点，直接写出的取值范围．

【答案】(1) ；

(2) 或 ；

(3)① ；② 的取值范围为或 ．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；

（2）先求得 ， ，作轴于点 ，设 ，分当点在轴上方和点在轴下方时，两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，列式求解即可；

（3）①利用平移的性质得图象的解析式为 ，得到图象与 轴交于点的坐标 ，据此列式计算即可求解；

②先求得或 ， 中含 ， ， 三个整数点（不含边界），再分三种情况讨论，分别列不等式组，求解即可．

【详解】（1）解：∵二次函数交 轴于 ，

∴ ，

解得 ；

（2）解：∵ ，

∴ ，

令 ，则 ，

解得或 ，

令 ，则 ，

∴ ， ， ，

作轴于点 ，

设 ，

当点在轴上方时，如图，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

解得或 （舍去）；

当点在轴下方时，如图，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

解得或 （舍去）；

∴ 或 ；

（3）解：①∵将二次函数沿水平方向平移，

∴纵坐标不变是4，

∴图象的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

由题意知：C、D不重合，则 ，

∴ ；

②由①得 ，

则函数图象如图，

∵ 随增加而增加，

∴ 或 ， 中含 ， ， 三个整数点（不含边界），

当内恰有2个整数点 ， 时，

当时， ，当时， ，

∴ ，

∴ ， 或 ，

∴ ；

∵ 或 ，

∴ ；

当内恰有2个整数点 ， 时，

当时， ，当时， ，

∴ ，

∴ 或 ， ，

∴ ；

∵ 或 ，

∴ ；

当内恰有2个整数点 ， 时，

此情况不存在，舍去，

综上， 的取值范围为或 ．

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式及二次函数与线段的交点问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质．熟练掌握二次函数图象的性质及数形结合法是解题的关键．

34．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线交 轴于 ， 两点（ 在的右边），交轴于点 ．

(1)直接写出点 ， ， 的坐标；

(2)如图（1），连接 ， ，过第三象限的抛物线上的点作直线 ，交y轴于点 ．若平分线段 ，求点的坐标；

(3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于 ， 两点（点在 轴下方），线段交抛物线于另一点 ，连接 ．若 ，求直线的解析式．

【答案】(1) ， ，

(2)

(3)

【分析】（1）分别令 ，解方程，即可求解；

（2）分别求得直线 ，根据得出的解析式，设 ，进而求得点的坐标，进而根据平分线段 ，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解．

（3）过点作 轴，过点分别作的垂线，垂足分别为 ，证明 ，得出 ，先求得点的坐标，设直线的解析式为 ，直线的解析式为 ，联立抛物线解析式，设 ， ， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出 ， ， ，进而求得 ，代入 ，化简后得出 ，即 ，进而即可求解．

【详解】（1）解：由 ，

当时， ，则

当 ，

解得：

∵ 在的右边

∴ ， ，

（2）解：设直线的解析式为

将 ， 代入得，

解得：

∴直线的解析式为

∵

设直线的解析式为

∵ 在第三象限的抛物线上

设 ，

∴

∴

∴

设的中点为 ，则

由 ， ，设直线的解析式为 ，

将代入得，

，

解得：

∴直线的解析式为 ，

∵ 平分线段 ，

∴ 在直线上，

∴

解得： （舍去）

当时，

∴ ；

（3）解：如图所示，过点作 轴，过点分别作的垂线，垂足分别为 ，

∴

∴

∴

∴

即

∵点与原点关于点对称，

∴ ,

设直线的解析式为 ，直线的解析式为

联立直线与抛物线解析式可得， ，

即

联立直线与抛物线解析式可得，

即

设 ， ，

∴ ， ， ，

∴

，

∵

∴ ，

将代入得：

∴ ，

∴ ，

∴直线解析式为 ．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．

35．（2024·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线 （ 是常数）经过点 ．点 、 是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为 、 ，点的横坐标为 ，点的纵坐标与点的纵坐标相同，连结 、 ．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)求证：当取不为零的任意实数时， 的值始终为2；

(3)作的垂直平分线交直线于点 ，以为边、 为对角线作菱形 ，连结 ．

①当与此抛物线的对称轴重合时，求菱形的面积；

②当此抛物线在菱形内部的点的纵坐标随 的增大而增大时，直接写出的取值范围．

【答案】(1)

(2)见详解

(3)① ；② 或或

【分析】（1）将代入 ，解方程即可；

（2）过点B作于点H，由题意得 ，则 ， ，因此 ；

（3）①记交于点M， ，而对称轴为直线 ，则 ，解得： ，则 ， ，由 ，得 ，则 ，因此 ；

②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点F，则 ，故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当时，符合题意；当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意， 过点F作于点Q，由 ，得到 ，解得： 或 （舍），故 ，当时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当时，符合题意：当m继续变小，直至点A与点F重合，此时 ，故 ；当m继续变小，直线经过点F时，也符合题意， 过点F作于点Q，同上可得， ，解得： 或 （舍），当m继续变小时，仍符合题意，因此 ，故m的取值范围为： 或或 ．

【详解】（1）解：将代入 ，

得： ，

解得： ，

∴抛物线表达式为： ；

（2）解：过点B作于点H，则 ，

由题意得： ，

∴ ， ，

∴在中， ；

（3）解：①如图，记交于点M，

由题意得， ，

由 ，

得：对称轴为直线：

∵四边形是菱形，

∴点A、C关于对称， ，

∵ 与此抛物线的对称轴重合，

∴ ，

解得： ，

∴ ，

∴

∴ ，

∵ ，

∴ ，则 ，

∴ ；

②记抛物线顶点为点F，把代入 ，得： ，

∴ ，

∵抛物线在菱形内部的点的纵坐标随 的增大而增大，

∴菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，

当时，如图，符合题意，

当m继续变大，直至当直线经过点F时，符合题意，如图：

过点F作于点Q，

∵四边形是菱形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得： 或 （舍），

∴ ，

当时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；

当时，如图，符合题意：

当m继续变小，直至点A与点F重合，此时 ，符合题意，如图：

∴ ；

当m继续变小，直至直线经过点F时，也符合题意，如图：

过点F作于点Q，同上可得，

，

∴ ，

解得： 或 （舍），

当m继续变小时，仍符合题意，如图：

∴ ，

综上所述，m的取值范围为： 或或 ．

【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键．