2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题15 二次函数的实际应用（21题）（解析版）

专题15 二次函数的实际应用（21题）

一、单选题

1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 （单位： ）与小球的运动时间 （单位： ）之间的关系式是 ．有下列结论：

①小球从抛出到落地需要 ；

②小球运动中的高度可以是 ；

③小球运动时的高度小于运动时的高度．

其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和 代入计算即可判断③．

【详解】解：令 ，则 ，解得： ， ，

∴小球从抛出到落地需要 ，故①正确；

∵ ，

∴最大高度为 ，

∴小球运动中的高度可以是 ，故②正确；

当时， ；当时， ；

∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误；

故选C．

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中， ， ，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接 ，以为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与 重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．

【详解】解：当与 重合时，设 ，由题可得：

∴ ， ，

在中，由勾股定理可得： ，

∴ ，

∴ ，

∴当时， ，

∵ ，

∴图象为开口向上的抛物线的一部分，

当在 下方时，设 ，由题可得：

∴ ， ，

∵ ， ,

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当时， ，

∵ ，

∴图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确，

故选：A．

3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中， ， ，菱形的顶点 ， 在同一水平线上，点与 的中点重合， ， ，现将菱形以 的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为 ，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解．

【详解】解：如图所示，设交于点 ，

∵菱形 ， ，

∴

又∵ ，

∴ 是等边三角形，

∵ ， ，

∴

∴

∴

当时，重合部分为 ，

如图所示，

依题意， 为等边三角形，

运动时间为 ，则 ，

∴

当时，如图所示，

依题意， ，则

∴

∴

∵

∴当时，

当时，同理可得，

当时，同理可得，

综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线；

故选：D．

二、填空题

4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则 ．

【答案】

【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．

【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系，

∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．

设抛物线解析式为： ，

把点代入得： ，

解得： ，

∴抛物线解析式为： ；

当时， ，

解得， （舍去）， ，

即此次实心球被推出的水平距离为 ．

故答案为：

5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位： ）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位： ）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长 ，高的矩形，则可判定货车完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．

【答案】能

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于 ，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．

【详解】解：∵ ， ，

∴ ，

在中，当时， ，

∵ ，

∴可判定货车能完全停到车棚内，

故答案为：能．

6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得 m， m， m， m， m．班长买来可切断的围栏 m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 ．

【答案】

【分析】本题考查了二次函数的应用．要利用围墙和围栏围成一个面积最大的封闭的矩形菜地，那就必须尽量使用原来的围墙，观察图形，利用和 才能使该矩形菜地面积最大，分情况，利用矩形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】解：要使该矩形菜地面积最大，则要利用和 构成矩形，

设矩形在射线上的一段长为 ，矩形菜地面积为 ，

当时，如图，

则在射线上的长为

则 ，

∵ ，

∴当时， 随的增大而增大，

∴当时， 的最大值为 ；

当时，如图，

则矩形菜园的总长为 ，

则在射线上的长为

则 ，

∵ ，

∴当时， 随的增大而减少，

∴当时， 的值均小于 ；

综上，矩形菜地的最大面积是 ；

故答案为： ．

三、解答题

7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线型，桥塔与桥塔均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线为x轴，以桥塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．

已知：缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，桥塔与桥塔之间的距离 ， ，缆索的最低点P到的距离 （桥塔的粗细忽略不计）

(1)求缆索所在抛物线的函数表达式；

(2)点E在缆索上， ，且 ， ，求的长．

【答案】(1) ；

(2) 的长为 ．

【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．

（1）根据题意设缆索所在抛物线的函数表达式为 ，把代入求解即可；

（2）根据轴对称的性质得到缆索所在抛物线的函数表达式为 ，由 ，把代入求得 ， ，据此求解即可．

【详解】（1）解：由题意得顶点P的坐标为 ，点A的坐标为 ，

设缆索所在抛物线的函数表达式为 ，

把代入得 ，

解得 ，

∴缆索所在抛物线的函数表达式为 ；

（2）解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，

∴缆索所在抛物线的函数表达式为 ，

∵ ，

∴把代入得， ，

解得 ， ，

∴ 或 ，

∵ ，

∴ 的长为 ．

8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长 ．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为 米，围成的矩形面积为 ．

(1)求与 与的关系式．

(2)围成的矩形花圃面积能否为 ，若能，求出的值．

(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值．

【答案】(1) ；

(2)能，

(3) 的最大值为800，此时

【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用：

（1）根据可求出与 之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式；

（2）令 ，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ；

（3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可．

【详解】（1）解：∵篱笆长 ，

∴ ，

∵

∴

∴

∵墙长42m，

∴ ，

解得， ，

∴ ；

又矩形面积

；

（2）解：令 ，则 ，

整理得： ，

此时， ，

所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴围成的矩形花圃面积能为 ；

∴

∴

∵ ，

∴ ；

（3）解：

∵

∴ 有最大值，

又 ，

∴当时， 取得最大值，此时 ，

即当时， 的最大值为800

9．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式 ，其中是物体运动的时间， 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．

(1)小球被发射后_________ 时离地面的高度最大（用含的式子表示）．

(2)若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度．

(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为 ．”已知实验楼高 ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)小明的说法不正确，理由见解析

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

（1）把函数解析式化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可；

（2）把 ， 代入求解即可；

（3）由（2），得 ，把代入，求出t的值，即可作出判断.

【详解】（1）解：

，

∴当时，h最大，

故答案为： ；

（2）解：根据题意，得

当时， ，

∴ ，

∴ （负值舍去）；

（3）解：小明的说法不正确．

理由如下：

由（2），得 ，

当时， ，

解方程，得 ， ，

∴两次间隔的时间为 ，

∴小明的说法不正确．

10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线 ．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．

(1)若火箭第二级的引发点的高度为 ．

①直接写出a，b的值；

②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．

(2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．

【答案】(1)① ， ；②

(2)

【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键．

（1）①将代入即可求解；②将变为 ，即可确定顶点坐标，得出 ，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；

（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．

【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为

∴抛物线和直线均经过点

∴ ，

解得 ， ．

②由①知， ，

∴

∴最大值

当时，

则

解得 ，

又∵ 时，

∴当时，

则

解得

∴这两个位置之间的距离 ．

（2）解：当水平距离超过时，

火箭第二级的引发点为 ，

将 ， 代入 ，得

，

解得 ，

∴ ．

11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒．

(1)求这两种粽子的进价；

(2)设猪肉粽每盒售价元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求关于的函数表达式并求出的最大值．

【答案】(1)猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元

(2) 或 ，当时， 取得最大值为1000元

【分析】本题考查列分式方程解应用题和二次函数求最值，解决本题的关键是正确寻找本题的等量关系及二次函数配方求最值问题．

（1）设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元．根据“用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同”即可列出方程，求解并检验即可；

（2）根据题意可列出y关于x的函数解析式，再根据二次函数的性质即可解答．

【详解】（1）解：设豆沙粽每盒的进价为n元，则猪肉粽每盒的进价为元

由题意得：

解得：

经检验： 是原方程的解且符合题意

∴

答：猪肉粽每盒50元，豆沙粽每盒30元．

（2）解：设猪肉粽每盒售价元 ， 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），则

∵ ， ，

∴当时， 取得最大值为1000元．

12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．

(1)求y与x的函数表达式；

(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？

(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．

【答案】(1)

(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元

(3)2

【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；

（3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为 ，

把 ， ； ， 代入，得 ，

解得 ，

∴y与x的函数表达式为 ；

（2）解：设日销售利润为w元，

根据题意，得

，

∴当时， 有最大值为450，

∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；

（3）解：设日销售利润为w元，

根据题意，得

，

∴当时， 有最大值为 ，

∵糖果日销售获得的最大利润为392元，

∴ ，

化简得

解得 ，

当时， ,

则每盒的利润为： ,舍去，

∴m的值为2．

13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）

【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元

【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，

由题意得，

，

∵ ，

∴当时，w有最大值，最大值为 ，

∴ ，

答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元．

14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种 间， 种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．

(1)求两种客房每间定价分别是多少元？

(2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时， 种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？

【答案】(1) 种客房每间定价为元， 种客房每间定价为为元；

(2)当种客房每间定价为元时， 种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．

【分析】（ ）设种客房每间定价为元， 种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解；

（ ）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与 的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解；

本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键．

【详解】（1）解：设种客房每间定价为元， 种客房每间定价为为元，

由题意可得， ，

解得 ，

答： 种客房每间定价为元， 种客房每间定价为为元；

（2）解：设种客房每间定价为元，

则 ，

∵ ，

∴当时， 取最大值， 元，

答：当种客房每间定价为元时， 种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．

15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．

(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？

(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）

【答案】(1)A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件

(2) （ ）

(3)A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元

【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，

根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可；

根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；

结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．

根据题意得 ．

解得 ．

则每件B类特产的售价 （元）．

答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．

（2）由题意得

∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价

∴ ．

答： （ ）．

（3）

．

∴当时，w有最大值1840．

答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．

16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．

【答案】任务1： ；任务2： ；任务3：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润

【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键．

任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，然后将2种服装的获利求和即可得出结果；

任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可．

【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装，

∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，

∴加工“正”服装的有人，

∵“正”服装总件数和“风”服装相等，

∴ ，

整理得： ；

任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为： ，

∴ ，

整理得：

∴

任务3：由任务2得 ，

∴当时，获得最大利润，

，

∴ ，

∵开口向下，

∴取或 ，

当时， ，不符合题意；

当时， ，符合题意；

∴ ，

综上：安排17名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润．

17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

【答案】(1) ，每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元

(2)这天售出了64辆轮椅

【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键：

（1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可；

（2）令 ，得到关于的一元二次方程，进行求解即可．

【详解】（1）解：由题意，得： ；

∵每辆轮椅的利润不低于180元，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴当时， 随的增大而增大，

∴当时，每天的利润最大，为元；

答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元；

（2）当时， ，

解得： （不合题意，舍去）；

∴ （辆）；

答：这天售出了64辆轮椅．

18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：

(1)① ______， ______；

②小球的落点是A，求点A的坐标．

(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．

①小球飞行的最大高度为______米；

②求v的值．

【答案】(1)①3，6；② ；

(2)①8，②

【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据，

（1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标；

（2）①根据第一问可知最大高度为8米；

②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值．

【详解】（1）解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为 ，

∴ ，

解得： ，

∴二次函数解析式为 ，

当时， ，

解得： 或 （舍去），

∴ ，

当时， ，

故答案为：3，6．

②联立得： ，

解得： 或 ，

∴点A的坐标是 ，

（2）①由题干可知小球飞行最大高度为8米，

故答案为：8；

② ，

则 ，

解得 （负值舍去）．

19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ， ， ， ，反比例函数的图象与交于点 ，与交于点E．

(1)求m，k的值；

(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作 ，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接 ，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】(1) ，

(2) 最大值是 ，此时

【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；

（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出 ，设点P的坐标为 ， ，则可求出 ，然后利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解： ， ，

．

又 ，

．

，

点 ．

设直线的函数表达式为 ，

将 ， 代入 ，得 ，

解得 ，

∴直线的函数表达式为 ．

将点代入 ，得 ．

．

将代入 ，得 ．

（2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．

， ，

．

轴，

， ．

，

，

，

．

设点P的坐标为 ， ，则 ， ．

．

．

当时， 有最大值 ，此时 ．

20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡 ，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求抛物线最高点的坐标；

(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．

【答案】(1)

(2)

(3)这棵树的高为2

【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键．

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解；

（3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明 ，利用相似三角形的性质求得 ， ，据此求解即可．

【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点，

把点代入中，得： ，

解得 ，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）解：由（1）得： ，

∴抛物线最高点对坐标为 ；

（3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

又∵点B是的三等分点，

∴ ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

解得 ，

∴ ，

解得 ，

∴点C的横坐标为1，

将代入中， ，

∴点C的坐标为 ，

∴ ，

∴ ，

答：这棵树的高为2．

21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点在第一象限，且 ．

(1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；

(2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为 ．设 ．

①如图②，若直线与边相交于点 ，当折叠后四边形与 重叠部分为五边形时， 与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】(1)

(2)① ；②

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理 ，即可作答．

（2）①由折叠得 ， ，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简， ，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答．

②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出 ，再分别以时， 时， ， 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．

【详解】（1）解：如图：过点C作

∵四边形是平行四边形， ，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为： ，

（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，

∴ ， ，

∴

∵

∴

∴

∵四边形为平行四边形，

∴ ， ，

∴ 是等边三角形

∴

∵

∴

∴ ；

当与点重合时，

此时与 的交点为E与A重合，

如图：当与点B重合时，

此时与 的交点为E与B重合，

∴ 的取值范围为 ；

②如图：过点C作

由（1）得出 ，

∴ ，

∴

当时，

∴ ，开口向上，对称轴直线

∴在时， 随着的增大而增大

∴ ；

当时，如图：

∴ ， 随着的增大而增大

∴在时 ；在时 ；

∴当时，

∵当时，过点E作，如图：

∵由①得出是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴

∵

∴开口向下，在时， 有最大值

∴

∴在时，

∴

则在时， ；

当时，如图，

∴ ， 随着的增大而减小

∴在时，则把分别代入

得出 ，

∴在时，

综上：

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．