2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题13 反比例函数及其应用（41题）（解析版）

专题13 反比例函数及其应用（41题）

一、单选题

1．（2024·安徽·中考真题）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）

A． B． C．1 D．3

【答案】A

【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出 ，代入反比例函数求解即可

【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故选：A

2．（2024·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．

【详解】解：解：当时， ，图象不经过 ，故A不符合要求；

当时， ，图象一定经过 ，故B符合要求；

当时， ，图象不经过 ，故C不符合要求；

当时， ，图象不经过 ，故D不符合要求；

故选：B．

3．（2024·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数性质即可判断．

【详解】解： ，

反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限随 的增大而减小，

点 ，都在反比例函数的图象上， ，

．

∵ ， 在反比例函数的图象上，

∴ ，

∴ .

故选：B．

4．（2024·广西·中考真题）已知点 ， 在反比例函数的图象上，若 ，则有（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点 ， 在反比例函数图象上，则满足关系式 ，横纵坐标的积等于2，结合即可得出答案．

【详解】解： 点 ， 在反比例函数的图象上，

， ，

，

， ，

．

故选：A．

5．（2024·浙江·中考真题）反比例函数的图象上有 ， 两点．下列正确的选项是（ ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数 ，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与 的大小．

【详解】解：根据反比例函数 ，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，

反比例函数的图象上有 ， 两点，

当 ，即时， ；

当 ，即时， ；

当 ，即时， ；

故选：A．

6．（2024·河北·中考真题）节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是（ ）

A．若 ，则 B．若 ，则

C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍

【答案】C

【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．

【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．

∴ ，

∴ ，

当时， ，故A不符合题意；

当时， ，故B不符合题意；

∵ ， ，

∴当x减小，则y增大，故C符合题意；

若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；

故选：C．

7．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．

【详解】解：∵方程无实数根，

∴ ，

解得： ，则函数的图象过二，四象限，

而函数的图象过一，三象限，

∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，

故选：A．

8．（2024·重庆·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）

A． B．3 C． D．6

【答案】C

【分析】本题考查了待定系数法求反比例解析式，把代入求解即可．

【详解】解：把代入 ，得

．

故选C．

9．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点D，与边交于点F，与交于点E， ，若四边形的面积为2，则k的值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质；熟练掌握矩形的性质和反比例函数的性质是解决问题的关键．

过点E作 ，则 ，设 ，由 ，可得 ，再由 ，列方程，即可得出k的值．

【详解】过点E作 ，则 ，

∴ ，

∴

设 ，

∵

∴ ，

∴

∴

即 ，解得：

故选D

10．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，双曲线经过A、B两点，连接 、 ，过点B作轴，垂足为D， 交于点E，且E为的中点，则的面积是（ ）

A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5

【答案】A

【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A作 ，垂足为F，设 ，证明 ，有 ，根据E为的中点，可得 ， ，进而有 ， ，可得 ， ，则有 ，问题随之得解．

【详解】如图，过点A作 ，垂足为F，

设 ， ，

∵ 轴， ，

∴ 轴， ，

∴ ，

∴ ，

∵E为的中点，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故选：A．

11．（2024·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图像与坐标轴的交点个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】根据函数表达式计算当时y的值，可得图像与y轴的交点坐标；由于的值不可能为0，即 ，因此图像与x轴没有交点，由此即可得解．

本题主要考查了函数图像与坐标轴交点个数，掌握求函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键．

【详解】当时， ，

∴ 与y轴的交点为 ；

由于是分式，且当时， ，即 ，

∴ 与x轴没有交点．

∴函数的图像与坐标轴的交点个数是1个，

故选：B．

12．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿 轴向上平移，平移后的直线与轴交于点 ，与函数的图象交于点 ．若 ，则点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查反比例函数、解直角三角形、平移的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．

如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出 、k值，再根据平移、平行线的性质证明 ，进而根据求出 ，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定 , ，再运用勾股定理求得 ，进而求得即可解答．

【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ．

∵ 在反比例函数的图象上，

∴ ．

∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线 ，

∴ ，

∴ ，

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，解得： ，即点C的横坐标为2，

将代入 ，得 ，

∴C点的坐标为 ，

∴ , ，

∴ ，

∴ ,

∴

故选：B．

13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形中， ，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M， 轴， 与y轴交于点N．则的值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．

作辅助线如图，利用函数表达式设出 、 两点的坐标，利用 ， 是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．

【详解】解：作过作 的垂线垂足为 ， 与轴交于点，如图，

在等腰三角形ABC中， ， 是中点，

设 ， ，

由中点为 ， ，故等腰三角形中，

∴ ，

∴ ，

∵AC的中点为M，

∴ ，即 ，

由在反比例函数上得 ，

∴ ，

解得： ，

由题可知， ，

∴ ．

故选：B．

二、填空题

14．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和 ，则的值是.

【答案】0

【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．

将点和 代入 ，求得和 ，再相加即可．

【详解】解：∵函数的图象经过点和 ，

∴有 ，

∴ ，

故答案为：0．

15．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则．

【答案】

【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题．

【详解】解： 点在反比例函数的图象上，

，

故答案为： ．

16．（2024·山东威海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点 ， ．则满足的 的取值范围．

【答案】 或

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．

【详解】解：由图象可得，当或 时， ，

∴满足的 的取值范围为或 ，

故答案为： 或 ．

17．（2024·湖南·中考真题）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即 （k为常数． ），若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为．

【答案】180

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把 ， 代入求解即可．

【详解】解：把 ， 代入 ，得 ，

解得 ，

故答案为：180．

18．（2024·陕西·中考真题）已知点和点均在反比例函数的图象上，若 ，则0．

【答案】 /小于

【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，先求出 ， ，再根据 ，得出 ，最后求出即可．

【详解】解：∵点和点均在反比例函数的图象上，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ．

故答案为： ．

19．（2024·湖北武汉·中考真题）某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是．

【答案】1（答案不唯一）

【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当 ，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当 ，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的的值即可．

【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小，

∴

故答案为：1（答案不唯一）．

20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点 ， 在轴上，若点 ， ，则实数的值为．

【答案】

【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可．

【详解】 是平行四边形

纵坐标相同

的纵坐标是

在反比例函数图象上

将代入函数中，得到

的纵坐标为

即：

解得：

故答案为： ．

21．（2024·内蒙古包头·中考真题）若反比例函数 ， ，当时，函数的最大值是 ，函数的最大值是 ，则．

【答案】 /

【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，负整数指数幂，正确得出与 的关系是解题关键．直接利用反比例函数的性质分别得出与 ，再代入进而得出答案．

【详解】解： 函数 ，当时，函数随 的增大而减小，最大值为 ，

时， ，

，当时，函数随 的增大而减大，函数的最大值为 ，

．

故答案为： ．

22．（2024·四川遂宁·中考真题）反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第象限．

【答案】四/

【分析】本题考查了反比例函数的性质，点所在的象限，根据反比例函数的性质得出 ，进而即可求解．

【详解】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，

∴

∴

∴点在第四象限，

故答案为：四．

23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，点B在反比例函数的图像上， 轴于点C， ，将沿 翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图像上，则k的值为．

【答案】

【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握求解的方法是解题的关键．

如图，过点作 轴于点 ．根据 ， ，设 ，则 ，由对称可知 ， ，即可得 ， ，解得 ，根据点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，即可列方程求解；

【详解】解：如图，过点作 轴于点 ．

∵点A的坐标为 ，

∴ ，

∵ ， 轴，

设 ，则 ，

由对称可知 ， ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∵点B的对应点D落在该反比例函数的图像上，

∴ ，

解得： ，

∵反比例函数图象在第一象限，

∴ ，

故答案为： ．

24．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点 ， 的坐标分别为 ， ，过点作 轴交轴于点 ，点为线段上的一点，且 ．反比例函数的图象经过点交线段于点 ，则四边形的面积是．

【答案】

【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的几何意义，作轴于 ，作轴于 ，则 ，由点 ， 的坐标分别为 ， 得 ， ， ，然后证明得 ，求出 ，则 ，故有点坐标为 ，求出反比例函数解析式 ，再求出 ，最后根据即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

【详解】如图，作轴于 ，作轴于 ，则 ，

∵点 ， 的坐标分别为 ， ，

∴ ， ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 点坐标为 ，代入得， ，

∴反比例函数解析式为 ，

∵ 轴，

∴点与点纵坐标相等，且在反比例函数图象上，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： ．

25．（2024·四川广元·中考真题）已知与 的图象交于点 ，点B为y轴上一点，将沿 翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为．

【答案】

【分析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及 ，根据解直角三角形得 ，根据折叠性质， ，然后根据勾股定理进行列式，即 ．

【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，

∵ 与的图象交于点 ，

∴把代入 ，得出 ，

∴ ，

把代入 ，

解得 ，

∴ ，

设 ，

在 ，

∴ ，

∵点B为y轴上一点，将沿 翻折，

∴ ， ，

∴ ，

则 ，

解得 （负值已舍去），

∴ ，

∴ ，

∴点的坐标为 ，

故答案为： ．

26．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形， ，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则．

【答案】8

【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点作 轴的垂线，垂足分别为 ，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得 ， ，再求得点 ，利用待定系数法求解即可．

【详解】解：过点作 轴的垂线，垂足分别为 ，如图，

∵ ，

∴ ，

∴设 ，则 ，

∴点 ，

∵点A在反比例函数上，

∴ ，

∴ （负值已舍），则点 ，

∴ ， ，

∴ ，

∵四边形为菱形，

∴ ， ，

∴点 ，

∵点B落在反比例函数上，

∴ ，

故答案为：8．

27．（2024·广东广州·中考真题）如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上， ， ．将线段沿 轴正方向平移得线段 （点平移后的对应点为 ）， 交函数的图象于点 ，过点作 轴于点 ，则下列结论：

① ；

② 的面积等于四边形的面积；

③ 的最小值是 ；

④ ．

其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）

【答案】①②④

【分析】由 ，可得 ，故①符合题意；如图，连接 ， ， ， 与的交点为 ，利用的几何意义可得的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接 ，证明四边形为矩形，可得当最小，则最小，设 ，可得的最小值为 ，故③不符合题意；如图，设平移距离为 ，可得 ，证明 ，可得 ，再进一步可得答案．

【详解】解：∵ ， ，四边形是矩形；

∴ ，

∴ ，故①符合题意；

如图，连接 ， ， ， 与的交点为 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的面积等于四边形的面积；故②符合题意；

如图，连接 ，

∵ 轴， ，

∴四边形为矩形，

∴ ，

∴当最小，则最小，

设 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的最小值为 ，故③不符合题意；

如图，设平移距离为 ，

∴ ，

∵反比例函数为 ，四边形为矩形，

∴ ， ，

∴ ， ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，故④符合题意；

故答案为：①②④

【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．

28．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．

（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是（填序号）；

① ；② ；③ ．

（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为．

【答案】 ③ 或

【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．

（1）① 中，取 ，不存在“近轴点”；

② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；

③ ，取时， ，得到是 的“近轴点”；

（2） 图象恒过点 ，当直线过时， ，得到 ；当直线过时， ，得到 ．

【详解】（1）① 中，

时， ，

不存在“近轴点”；

② ，

由对称性，当时， ，

不存在“近轴点”；

③ ，

时， ，

∴ 是的“近轴点”；

∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③

故答案为：③；

（2） 中，

时， ，

∴图象恒过点 ，

当直线过时， ，

∴ ，

∴ ；

当直线过时， ，

∴ ，

∴ ；

∴m的取值范围为或 ．

故答案为： 或 ．

三、解答题

29．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点 ．过点作x轴的平行线分别交与 的图象于C，D两点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)连接 ，求的面积．

【答案】(1)一次函数的解析式为 ；反比例函数的解析式为 ；

(2)

【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：

（1）先根据一次函数图象的平移规律 ，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；

（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．

【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，

∴ ，

把代入中得： ，解得 ，

∴一次函数的解析式为 ；

把代入中得： ，解得 ，

∴反比例函数的解析式为 ；

（2）解：∵ 轴， ，

∴点C和点D的纵坐标都为2，

在中，当时， ，即 ；

在中，当时， ，即 ；

∴ ，

∵ ，

∴ ．

30．（2024·青海·中考真题）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点 ， ．

(1)求点A，点B的坐标及一次函数的解析式；

(2)根据图象，直接写出不等式的解集．

【答案】(1) ， ，

(2) 或

【分析】本题主要考查了一次函数与反比函数的交点问题：

（1）分别把点 ，点代入 ，可求出点A，B的坐标，即可求解；

（2）直接观察图象，即可求解．

【详解】（1）解：把点代入中，得： ，

∴点A的坐标为 ，

把点代入中，得： ，

∴点B的坐标为 ，

把 ， 代入中得： ，

∴ ，

∴一次函数的解析式为 ，

（2）解：根据一次函数和反比例函数图象，得：

当或 时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方，

∴ 的解集为或 ．

31．（2024·吉林·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量R的取值范围）．

(2)当电阻R为时，求此时的电流I．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：

（1）直接利用待定系数法求解即可；

（2）根据（1）所求求出当时I的值即可得到答案．

【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为 ，

把代入中得： ，

解得 ，

∴这个反比例函数的解析式为 ；

（2）解：在中，当时， ，

∴此时的电流I为 ．

32．（2024·山东·中考真题）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与 部分自变量与函数值的对应关系：

(1)求 、 的值，并补全表格；

(2)结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．

【答案】(1) ，补全表格见解析

(2) 的取值范围为或 ；

【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；

（1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可；

（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.

【详解】（1）解：当时， ，即 ，

当时， ，即 ，

∴ ，

解得： ，

∴一次函数为 ，

当时， ，

∵当时， ，即 ，

∴反比例函数为： ，

当时， ，

当时， ，

当时， ，

补全表格如下：

（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为 ， ，

∴当的图像在的图像上方时， 的取值范围为或 ；

33．（2024·湖北·中考真题）一次函数经过点 ，交反比例函数于点 ．

(1)求 ；

(2)点在反比例函数第一象限的图象上，若 ，直接写出的横坐标的取值范围．

【答案】(1) ， ， ；

(2) ．

【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．

（1）利用一次函数经过点 ，点 ，列式计算求得 ， ，得到点 ，再利用待定系数法求解即可；

（2）利用三角形面积公式求得 ，得到 ，据此求解即可．

【详解】（1）解：∵一次函数经过点 ，点 ，

∴ ，

解得 ，

∴点 ，

∵反比例函数经过点 ，

∴ ；

（2）解：∵点 ，点 ，

∴ ，

∴ ， ，

由题意得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ 的横坐标的取值范围为 ．

34．（2024·四川凉山·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点 ．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点 ，连接 ，求的面积．

【答案】(1)

(2)6

【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．

（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；

（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得 ，代入数据计算即可．

【详解】（1）解： 点在正比例函数图象上，

，解得 ，

，

在反比例函数图象上，

，

反比例函数解析式为 ．

（2）解：把直线向上平移3个单位得到解析式为 ，

令 ，则 ，

∴记直线与轴交点坐标为 ，连接 ，

联立方程组 ，

解得 ， （舍去），

，

由题意得： ，

∴ 同底等高，

．

35．（2024·贵州·中考真题）已知点在反比例函数的图象上．

(1)求反比例函数的表达式；

(2)点 ， ， 都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由．

【答案】(1)

(2) ，理由见解析

【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，以及函数图象上点的坐标特点，待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．

（1）把点代入可得k的值，进而可得函数的解析式；

（2）根据反比例函数表达式可得函数图象位于第一、三象限，再根据点A、点B和点C的横坐标即可比较大小．

【详解】（1）解：把代入 ，得 ，

∴ ，

∴反比例函数的表达式为 ；

（2）解：∵ ，

∴函数图象位于第一、三象限，

∵点 ， ， 都在反比例函数的图象上， ，

∴ ，

∴ ．

36．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线 ， 相交于点E，反比例函数的图象经过点A．

(1)求这个反比例函数的表达式．

(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象．

(3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________．

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是：

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）分别求出 ， ， 对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；

（3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解．

【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴这个反比例函数的表达式为 ；

（2）解：当时， ，

当时， ，

当时， ，

∴反比例函数的图象经过 ， ， ，

画图如下：

（3）解：∵ 向左平移后，E在反比例函数的图象上，

∴平移后点E对应点的纵坐标为4，

当时， ，

解得 ，

∴平移距离为 ．

故答案为： ．

37．（2024·四川乐山·中考真题）如图，已知点 、 在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点 ．

(1)求 、 的值和一次函数的表达式；

(2)连接 ，求点到线段的距离．

【答案】(1) ， ，

(2)点到线段的距离为

【分析】（1）根据点 、 在反比例函数图象上，代入即可求得 、 的值；根据一次函数过点 ， ，代入求得 ， ，即可得到表达式；

（2）连接 ，过点作 ，垂足为点 ，过点作 ，垂足为点 ，可推出轴， 、 、 的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据 ，计算得的长度，即为点到线段的距离．

【详解】（1） 点 、 在反比例函数图象上

，

又一次函数过点 ，

解得：

一次函数表达式为： ；

（2）如图，连接 ，过点作 ，垂足为点 ，过点作 ，垂足为点 ，

，

轴，

点 ， ，

点 ， ，

在中，

又

即

∴ ，即点C到线段的距离为 ．

【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．

38．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点 ， ，与轴， 轴分别交于 ， 两点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

(2)若点在 轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；

(3)将直线向下平移个单位长度后与轴， 轴分别交于 ， 两点，当时，求的值．

【答案】(1)一次函数的表达式为 ，反比例函数的表达式为

(2)点的坐标为

(3) 或

【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．

（1）根据已知条件列方程求得 ，得到反比例函数的表达式为 ，求得 ，解方程组即可得到结论；

（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时， 的周长最小，根据轴对称的性质得到 ，得到直线的解析式为 ，当时， ，于是得到点P的坐标为 ；

（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为 ，得到 ，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】（1）解： 一次函数与反比例函数的图象交于点 ， ，

，

，

反比例函数的表达式为 ，

把代入得，

，

，

，

把 ， 代入得，

，

解得 ，

一次函数的表达式为 ；

（2）解：如图，作点关于轴的对称点 ，连接交 轴于 ，

此时， 的周长最小，

点 ，

，

设直线的解析式为 ，

，

解得 ，

直线的解析式为 ，

当时， ，

点的坐标为 ；

（3）解：将直线向下平移个单位长度后与轴， 轴分别交于 ， 两点，

直线的解析式为 ，

， ，

，

，

解得或 ．

39．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，直线与双曲线交于 ， 两点，已知点坐标为 ．

(1)求 ， 的值；

(2)将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点 ，与轴交于点 ，与轴交于点 ，若 ，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；

（2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为 ，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．

【详解】（1）解：∵点A在反比例函数图象上，

∴ ，解得 ，

将代入 ，

；

（2）解：如图，过点C作轴于点F，

，

， ，

，

，

， ，

∵直线向上平移m个单位长度得到 ，

令 ，得 ，令 ，得 ，

， ，

， ，

，

双曲线过点C，

，

解得或 （舍去），

．

【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键．

40．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点 ， 两点，O为坐标原点，连接 ， ．

(1)求与 的解析式；

(2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；

(3)求的面积．

【答案】(1) ；

(2) 或

(3)

【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键；

（1）根据题意可得 ，即有 ，问题随之得解；

（2） 表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可；

（3）若与y轴相交于点C，可得 ，则 ，根据 ，问题即可得解．

【详解】（1）由题知 ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

把 ， 代入得 ，

∴ ，

∴ ；

（2）由图象可知自变量x的取值范围为或

（3）若与y轴相交于点C，

当时， ，

∴ ，即： ，

∴ ．

41．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点 ，给出如下定义：当点 ，满足时，称点是点的等和点．

(1)已知点 ，在 ， ， 中，是点等和点的有_____；

(2)若点的等和点在直线上，求的值；

(3)已知，双曲线和直线 ，满足的 取值范围是或 ．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标．

【答案】(1) 和 ；

(2) ；

(3) 或 ．

【分析】（ ）根据等和点的定义判断即可求解；

（ ）设点的横坐标为 ，根据等和点的定义得点的纵坐标为 ，即可得点的坐标为 ，把点的坐标代入即可求解；

（ ）由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由时 的取值范围是或 ，可得点的横坐标为 ，点的横坐标为 ，即得 ，得到反比例函数解析式为 ，设 ，点的横坐标为 ，根据等和点的定义得 ，代入得 ，解方程得 ， ，据此即可求解；

本题考查了点的坐标新定义运算，一次函数点的坐标特征，一次函数与反比例函数的交点问题，理解等和点的定义是解题的关键．

【详解】（1）解：由 ， 得， ，

∴点是点的等和点；

由 ， 得， ， ，

∵ ，

∴ 不是点的等和点；

由 ， 得， ，

∴ 是点的等和点；

故答案为： 和 ；

（2）解：设点的横坐标为 ，

∵点是点的等和点，

∴点的纵坐标为 ，

∴点的坐标为 ，

∵点在直线上，

∴ ，

∴ ；

（3）解：由题意可得， ，双曲线分布在一、三象限内，设直线与双曲线的交点分别为点 ，如图，由时 的取值范围是或 ，可得点的横坐标为 ，点的横坐标为 ，

把代入得， ，

∴ ，

把代入得， ，

∴ ，

∴反比例函数解析式为 ，

设 ，点的横坐标为 ，

∵点是点的等和点，

∴点的纵坐标为 ，

∴ ，

∵点在直线上，

∴ ，

整理得， ，

去分母得， ，

解得 ， ，

经检验， 是原方程的解，

∴点的坐标为或 ．