2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题11 平面直角坐标系与函数基础知识（解析版）

专题11平面直角坐标系与函数基础知识

一、单选题

1．（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变．

【详解】解：将常温中的温度计插入一杯 （恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件，

故选：C．

2．（2024·甘肃·中考真题）敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，A区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为 ，那么有序数对记为对应的田地面积为（　　）

A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步

【答案】D

【分析】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，解答即可．

本题考查了坐标与位置的应用，熟练掌握坐标与位置的应用是解题的关键．

【详解】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看，

故对应的是半亩八十四步，

故选D．

3．（2024·山东威海·中考真题）定义新运算：

①在平面直角坐标系中， 表示动点从原点出发，沿着轴正方向（ ）或负方向（ ）．平移个单位长度，再沿着轴正方向（ ）或负方向（ ）平移个单位长度．例如，动点从原点出发，沿着轴负方向平移个单位长度，再沿着轴正方向平移个单位长度，记作 ．

②加法运算法则： ，其中 ， ， ， 为实数．

若 ，则下列结论正确的是（ ）

A． ， B． ，

C． ， D． ，

【答案】B

【分析】本题考查了新定义运算，平面直角坐标系，根据新定义得出 ，即可求解．

【详解】解：∵ ，

∴

解得： ，

故选：B．

4．（2024·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为 ，则点Q的坐标为（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表一个单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．

【详解】解：∵点P的坐标为 ，

∴点Q的坐标为 ，

故选：C．

5．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出的值，再确定点的位置即可

【详解】解：∵单项式与单项式的和仍是一个单项式，

∴单项式与单项式是同类项，

∴ ，

解得， ，

∴点在第四象限，

故选：D

6．（2024·四川广安·中考真题）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为 （单位：帕），时间为 （单位：秒），则关于的函数图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段．

【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长，

最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短．

故选：B．

7．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可．

【详解】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是 ，

∴ ，

故选：B．

8．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是 ， ， ， ，则四边形的面积为（ ）

A．14 B．11 C．10 D．9

【答案】D

【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出 ， ， ， ， ，然后根据求解即可．

【详解】解∶过A作于M，过B作于N，

∵ ， ， ， ，

∴ ， ， ， ，

∴ ， ，

∴四边形的面积为

，

故选：D．

9．（2024·广西·中考真题）激光测距仪L发出的激光束以的速度射向目标M， 后测距仪L收到M反射回的激光束．则L到M的距离与时间的关系式为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即可．

【详解】解： ，

故选：A．

10．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．

【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，

所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．

故选：D．

11．（2024·青海·中考真题）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高

B．未加入絮凝剂时，净水率为

C．絮凝剂的体积每增加 ，净水率的增加量相等

D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到

【答案】D

【分析】本题考查从图像上获取信息，能从图像上获得信息是解题的关键，根据图像信息对选项进行判断即可

【详解】A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；

B、未加入絮凝剂时，净水率为 ，故不符合题意，选项错误；

C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为 ，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为 ；故絮凝剂的体积每增加 ，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；

D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 ，符合题意，选项正确；

故选：D

12．（2024·湖南·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点 ，若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当 （其中 ）的值为整数时，称“整点”P为“超整点”，已知点在第二象限，下列说法正确的是（ ）

A． B．若点P为“整点”，则点P的个数为3个

C．若点P为“超整点”，则点P的个数为1个 D．若点P为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10

【答案】C

【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a的取值范围，即可判断选项A，利用“整点”定义即可判断选项B，利用“超整点”定义即可判断选项C，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D．

【详解】解：∵点在第二象限，

∴ ，

∴ ，故选项A错误；

∵点为“整点”， ，

∴整数a为 ， ，0，1，

∴点P的个数为4个，故选项B错误；

∴“整点”P为 ， ， ， ，

∵ ， ， ，

∴“超整点”P为 ，故选项C正确；

∵点为“超整点”，

∴点P坐标为 ，

∴点P到两坐标轴的距离之和 ，故选项D错误，

故选：C．

13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点 ， ， ，……， ， 都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加 ，则的值是（ ）

A． B． C．0 D．1

【答案】D

【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 ，进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可求解．

【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，而即 ，

∵ ，

当时， ，即 ，

∵ 关于点中心对称的点为 ，

即当时， ，

∴ ，

故选：D．

14．（2024·山东威海·中考真题）同一条公路连接 ， ， 三地， 地在 ， 两地之间．甲、乙两车分别从地、 地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．下图表示甲、乙两车之间的距离 （ ）与时间 （ ）的函数关系．下列结论正确的是（ ）

A．甲车行驶与乙车相遇 B． ， 两地相距

C．甲车的速度是 D．乙车中途休息分钟

【答案】A

【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象结合选项，逐项分析判断，即可求解．

【详解】解：根据函数图象可得两地之间的距离为 （ ）

两车行驶了小时，同时到达地，

如图所示，在小时时，两车同向运动，在第2小时，即点时，两车距离发生改变，此时乙车休息，

点的意义是两车相遇， 点意义是乙车休息后再出发，

∴乙车休息了1小时，故D不正确，

设甲车的速度为 ，乙车的速度为 ，

根据题意，乙车休息后两车同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，

∵

即

在时，乙车不动，则甲车的速度是 ，

∴乙车速度为 ，故C不正确，

∴ 的距离为千米，故B不正确，

设小时两辆车相遇，依题意得，

解得： 即小时时，两车相遇，故A正确

故选：A．

15．（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键．

【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点，

故选： ．

16．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）

A．当时， B．Q随I的增大而增大

C．I每增加1A，Q的增加量相同 D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多

【答案】C

【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．

【详解】解∶根据图1知：当时， ，故选项A正确，但不符合题意；

根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；

根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；

根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；

故选：C．

17．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论：

（1）体育场离该同学家2.5千米；

（2）该同学在体育场锻炼了15分钟；

（3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍；

（4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75；

其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确的读懂图像给出的信息是解题的关键．利用图象信息解决问题即可．

【详解】解：由图象可知：体育场离该同学家2.5千米，故（1）正确；

该同学在体育场锻炼了 （分钟），故（2）正确；

该同学的跑步速度为 （千米/分钟），步行速度为 （千米/分钟），则跑步速度是步行速度的倍，故（3）错误；

若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则该同学骑行的平均速度为 （千米/分钟），所以 ，故（4）正确，

故选：C．

18．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断．

【详解】解∶ 联立方程组 ，

解得 ，

∴P的坐标为 ，

∴点P在第四象限，

故选∶D．

19．（2024·河北·中考真题）平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则点Q的坐标为（ ）

A． 或 B． 或 C． 或 D． 或

【答案】D

【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键．

先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：① 先向右1个单位，不符合题意；② 先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ．

【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位 ，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，

若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点 ，则按照“和点” 反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况：

① 先向右1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到 ，故矛盾，不成立；

② 先向下1个单位得到 ，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到 ，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为 ，即 ，那么最后一次若向右平移则为 ，若向左平移则为 ，

故选：D．

二、填空题

20．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为 ，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为 ．

【答案】79

【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解．

【详解】解：∵铁的质量与体积成正比例，

∴m关于V的函数解析式为 ，

当时， ，

故答案为：79．

21．（2024·山东·中考真题）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的 ， 分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中 ， 均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点 ，经过第2次运算得到点 ，以此类推．则点经过2024次运算后得到点．

【答案】

【分析】本题考查了新定义，点的规律，根据新定义依次计算出各点的坐标，然后找出规律，最后应用规律求解即可．

【详解】解：点经过1次运算后得到点为 ，即为 ，

经过2次运算后得到点为 ，即为 ，

经过3次运算后得到点为 ，即为 ，

……，

发现规律：点经过3次运算后还是 ，

∵ ，

∴点经过2024次运算后得到点 ，

故答案为： ．

三、解答题

22．（2024·浙江·中考真题）小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程s（米）与小明跑步时间t（分）的函数关系如图所示．

(1)求A，B，C各档速度（单位：米/分）；

(2)求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；

(3)小丽第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值．

【答案】(1)80米/分，120米/分，160米/分

(2)5分

(3)42.5

【分析】此题考查函数图象获取信息，一元一次方程的应用，读懂图象中的数据是解本题的关键．

（1）由小明的跑步里程及时间可得档速度，再根据C档比B档快40米/分、B档比A档快40米/分可得B，C档速度；

（2）结合图象求出小丽每段跑步所用时间，再根据总时间即可求解；

（3）由题意可得，此时小丽在跑第三段，所跑时间为 （分），可得方程 ，求解即可．

【详解】（1）解：由题意可知， 档速度为米/分，

则档速度为米/分， 档速度为米/分；

（2）小丽第一段跑步时间为分，

小丽第二段跑步时间为分，

小丽第三段跑步时间为分，

则小丽两次休息时间的总和分；

（3）由题意可得：小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，

此时小丽在跑第三段，所跑时间为： （分）

可得： ，

解得： ．

23．（2024·北京·中考真题）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯），在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯（记为2号杯）示意图如下，

当1号杯和2号杯中都有 mL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度 （单位：cm）和2号杯的水面高度 （单位：cm），部分数据如下：

(1)补全表格（结果保留小数点后一位）；

(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与 ， 与之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；

(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为___________cm（结果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为___________cm（结果保留小数点后一位）．

【答案】(1)1.0

(2)见详解

(3)1.2，8.5

【分析】本题考查了函数的图像与性质，描点法画函数图像，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．

（1）设V与的函数关系式为： ，由表格数据得： ，则可求 ，代入即可求解；

（2）画与 之间的关系图象时，描点，连线即可，画与 的关系图像时，由于是正比例函数，故只需描出两点即可；

（3）①当时， ，由图象可知高度差 ；②在左右两侧找到等距的体积所对应的高度相同，大致为 ．

【详解】（1）解：由题意得，设V与的函数关系式为： ，

由表格数据得： ，

解得： ，

∴ ，

∴当时， ，

∴ ；

（2）解：如图所示，即为所画图像，

（3）解：①当时， ，由图象可知高度差 ，

故答案为：1.2；

②由图象可知当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为 ，

故答案为： ．