2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题09 一元二次方程及其应用（33题）（解析版）
专题09一元二次方程及其应用（33题）
一、单选题
1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、 ，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、 ，解得： ，故本选项符合题意；
C、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意；
D、 ， ，解得 ，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和 ；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 ．则原来的方程是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中 ， ，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和 ；
∴ ，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和 ．
∴
A. 中， ， ，故该选项不符合题意；
B. 中， ， ，故该选项符合题意；
C. 中， ， ，故该选项不符合题意；
D. 中， ， ，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程 ，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： 或 （舍）
故选：C．
4．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且 ，即 ，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根，
且 ，
即 ，
解得： ，
的取值范围是且 ．
故选：D．
5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为 ，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为 ，由题意，得：
，
解得： （舍去）；
故选C．
6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是 ，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为 ．由一元二次方程的定义，可知 ；一根是 ，代入可得 ，即可求答案．
【详解】解： 是关于的一元二次方程，
，即
由一个根 ，代入 ，
可得 ，解之得 ；
由得 ；
故选A
7．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为 ，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：B．
8．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程有两个相等的实数根， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
故选C．
9．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程 ，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
10．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若 ，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若 ，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且 ，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
，
，
的取值范围是： 且 ．
故选：A．
11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为 ，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到 ．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为 ，则符合题意得方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率 2021年底森林覆盖率 ，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得
即 ，
故选：B．
12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程的解是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ ， ，
故选∶B．
13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x的一元二次方程两根为 、 ，且 ，则p的值为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为 ，则 ．
根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，然后通分， ，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解： ，
，
而 ，
，
，
故选：A．
14．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为 ，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为 ，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年 （ 平均下降率） ，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解： 甲种药品成本的年平均下降率为 ，
根据题意可得 ，
故选：B．
二、填空题
15．（2024·山东·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为．
【答案】 /
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出 ，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程的一个根为1，则．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解： 关于的一元二次方程的一个根为 ，
满足一元二次方程 ，
，
解得， ．
故答案为： ．
17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为．
【答案】 /
【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得 ，进行计算即可得．
【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为： ．
18．（2024·四川凉山·中考真题）已知 ，则的值为．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入 ，转化为解一元二次方程， ，要进行舍解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
将代入
得， ，
即： ，
，
∴ 或 ，
∵ ，
∴ 舍，
∴ ，
故答案为：3．
19．（2024·湖南·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为．
【答案】2
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则 ；有两个相等的实数根，则 ；没有实数根，则 ．据此即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得：
故答案为：2
20．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为．
【答案】 /
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为 ，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得： ，再求解即可．
【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得： ， （不符合题意，舍去）；
故答案为： ．
22．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程的一个根，则的值为．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出 ，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴
，
故答案为： ．
23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算： 例如： ， ．若 ，则的值为．
【答案】 或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵ ，
而 ，
∴①当时，则有 ，
解得， ；
②当时， ，
解得，
综上所述，x的值是或 ，
故答案为： 或 ．
24．（2024·四川成都·中考真题）若 ， 是一元二次方程的两个实数根，则的值为．
【答案】7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出 ， ，从而得到 ，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到 ，再将代入即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程的两个实数根，
∴ ， ，
则
∴
故答案为：7
25．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为．
【答案】6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时， ，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得 ， ，再把变形为 ，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为 ， ，
∴ ，
∴
故答案为：6．
26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为 ， ，则的值为．
【答案】 /0.5
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为 ， ，则 ， ，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到 ， ，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】解： 方程的两根分别为 ， ，
， ，
．
故答案为： ．
27．（2024·四川泸州·中考真题）已知 ， 是一元二次方程的两个实数根，则的值是．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为 ， ，则 ， ．先根据根与系数的关系得到 ， ，再根据完全平方公式的变形 ，求出 ，由此即可得到答案．
【详解】解： ， 是一元二次方程的两个实数根，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
三、解答题
28．（2024·上海·中考真题）解方程组： ．
【答案】 ， 或者 ， ．
【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．
【详解】解： ，
由得： 代入中得：
，
，
，
，
解得： 或 ，
当时， ，
当时， ，
∴方程组的解为或者 ．
29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是 ，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为 ，
前15行的点数之和为 ，
那么，前行的点数之和为 ；
故答案为：36；120； ；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得 ，
得 ，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为 ，
由题意得 ，
得 ，即 ，
解得或 （舍去），
∴一共能摆放20排．
30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根和 ．
(1)填空： ________， ________；
(2)求 ， ；
(3)已知 ，求的值．
【答案】(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（ ）利用根和系数的关系即可求解；
（ ） 变形为 ，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得 ，即得 ，进而可得 ；
（ ）把方程变形为 ，再把根和系数的关系代入得 ，可得或 ，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得， ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵关于的一元二次方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根和 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：由根与系数的关系得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得或 ，
∴一元二次方程为 或 ，
当时， ，不合题意，舍去；
当时， ，符合题意；
∴ ．
31．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简： ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ，
∴
；
32．（2024·四川南充·中考真题）已知 ， 是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若 ，且 ， ， 都是整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“ ， 是关于的方程的两个不相等的实数根”，则 ，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据 ，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有 ， ， ，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根 ， 是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【详解】（1）解：∵ ， 是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：∵ ，由（1）得 ，
∴ ，
∴整数的值有 ， ， ，
当时，方程为 ，
解得： ， （都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为 ，
解得： （不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述， 的值为 ．
33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程 ．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为 ，且 ，求的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得， ， ，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明： ，
∵无论取何值， ，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 是方程的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
解得： 或 ．