专题08 分式方程及其应用（32题）（解析版）
专题08 分式方程及其应用（32题）
一、单选题
1．（2024·四川德阳·中考真题）分式方程的解是（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法与步骤是解题关键．先去分母化分式方程为整式方程，求出方程的解后再检验即可．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
解得 ，
当时， ，
∴ 是原方程的解．
故选D
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每袋粽子降价2元销售．细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求：每袋粽子的原价是多少元？设每袋粽子的原价是元，所得方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据降价后用240元可以比降价前多购买10袋，可以列出相应的分式方程．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：C．
3．（2024·四川广元·中考真题）我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手，从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”．现需要购买A、B两种绿植，已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍，用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株．设B种绿植单价是x元，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据用6750元购买的A种绿植比用3000元购买的B种绿植少50株，列出方程即可．
【详解】解：设B种绿植单价是x元，则A种绿植单价是元，根据题意得：
，
故选：C．
4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）一艘货轮在静水中的航速为 ，它以该航速沿江顺流航行所用时间，与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的应用，利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，设未知数列出方程，解方程即可求出答案．
【详解】解：设江水的流速为 ，根据题意可得：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
答：江水的流速为 ．
故选：D．
5．（2024·广东省·中考真题）方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项、合并同类项得： ，
解得：x=9，
经检验：x=9是原分式方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．
6．（2024·四川达州·中考真题）甲乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工．甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的倍，最后两人同时完成．求乙每小时加工零件多少个？设乙每小时加工个零件．可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，再根据时间工作总量工作效率结合甲的工作时间比乙的工作时间少30分钟列出方程即可．
【详解】解：设乙每小时加工个零件，则甲每小时加工个零件，
由题意得 ，
故选：D．
7．（2024·四川泸州·中考真题）分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程方法和步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验）求解，即可解题．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
经检验是该方程的解，
故选：D．
8．（2024·山东·中考真题）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
设改造后每天生产的产品件数为 ，则改造前每天生产的产品件数为 ，根据“改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同”列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为 ，则改造前每天生产的产品件数为 ，
根据题意，得： ，
解得： ，
经检验是分式方程的解，且符合题意，
答：改造后每天生产的产品件数 ．
故选：B．
9．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得， ，
整理得， ，
当时，方程无解，
当时，令 ，
解得 ，
所以关于x的分式方程无解时， 或 ．
故选：A．
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】A
【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式方程的解，再根据分式方程的解是负数得到 ，并结合分式方程的解满足最简公分母不为 ，求出的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得， ，
解得 ，
∵分式方程的解是负数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ，
故选： ．
11．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边同时乘以得， ，
解得 ，
∵分式方程的解为正数，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ 的取值范围为且 ，
故选： ．
二、填空题
12．（2024·四川宜宾·中考真题）分式方程的解为．
【答案】
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先去分母，化为整式方程，再解方程并检验即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根，
∴方程的根为 ，
故答案为： ．
13．（2024·四川广元·中考真题）若点满足 ，则称点Q为“美好点”，写出一个“美好点”的坐标．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】此题考查了解分式方程，先将方程两边同时乘以后去分母，令x代入一个数值，得到y的值，以此为点的坐标即可，正确解分式方程是解题的关键
【详解】解：等式两边都乘以 ，得 ，
令 ，则 ，
∴“美好点”的坐标为 ，
故答案为 （答案不唯一）
14．（2024·湖南省·中考真题）分式方程 =1的解是．
【答案】x=1
【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．
【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，
解得x=1．
检验：当x=1时，x+1=2≠0．
所以原方程的解为x=1．
故答案为：x=1．
【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．
15．（2024·湖北武汉·中考真题）分式方程的解是．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以完成去分母，再按照去括号，移项、合并同类项的步骤求解，检验即可获得答案．
【详解】解： ，
等号两边同时乘以 ，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
经检验， 是该分式方程的解，
所以，该分式方程的解为 ．
故答案为： ．
16．（2024·四川达州·中考真题）若关于的方程无解，则的值为．
【答案】 或2
【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到 ，再根据分式方程无解得到或 ，解关于k的方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
解得： ，
∵关于的方程无解，
∴当或 时，分式方程无解，
解得： 或 （经检验是原方程的解），
即或 ， 无解．
故答案为： 或2．
17．（2024·北京·中考真题）方程的解为.
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键．
先去分母，转化为解一元一次方程，注意要检验是否有增根．
【详解】解：
，
解得： ，
经检验： 是原方程的解，
所以，原方程的解为 ，
故答案为： ．
18．（2024·浙江·中考真题）若 ，则
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解，
故答案为：
19．（2024·四川凉山·中考真题）方程的解是
【答案】x=9
【分析】观察可得最简公分母是x（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】解：方程的两边同乘x（x-3），得
3x-9=2x，
解得x=9．
检验：把x=9代入x（x-3）=54≠0．
∴原方程的解为：x=9．
故答案为：x=9．
20．（2024·四川成都·中考真题）分式方程的解是．
【答案】x=3
【详解】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程x=3（x﹣2），求出整式方程的解得到x=3，经检验x=3是分式方程的解，即可得到分式方程的解．
考点：解分式方程
21．（2024·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为 ，且关于的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数的值之和是．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出 ；解分式方程得到 ，再由关于的分式方程的解均为负整数，推出且 且a是偶数，则且 且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，
∴ ；
解分式方程得 ，
∵关于的分式方程的解均为负整数，
∴ 且是整数且 ，
∴ 且且a是偶数，
∴ 且且a是偶数，
∴满足题意的a的值可以为4或8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是 ．
故答案为： ．
22．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为．
【答案】
【分析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数的值即可．
【详解】解： ，
化简得： ，
去分母得： ，
移项合并得： ，
解得： ，
由方程的解是正整数，得到为正整数，即或 ，
解得： 或 （舍去，会使得分式无意义）．
故答案为： ．
三、解答题
23．（2024·内蒙古包头·中考真题）（1）先化简，再求值： ，其中 ．
（2）解方程： ．
【答案】（1） ，7；（2）
【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，解分式方程等知识，解题的关键是：
（1）先利用完全平方公式、去括号法则化简，然后把x的值代入计算即可；
（2）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【详解】解：（1）
，
当时，原式 ；
（2）
去分母，得 ，
解得 ，
把代入 ，
∴ 是原方程的解．
24．（2024·四川自贡·中考真题）为传承我国传统节日文化，端午节前夕，某校组织了包粽子活动．已知七（3）班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子，甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同．求甲，乙两组同学平均每小时各包多少个粽子．
【答案】甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用．设乙组每小时包个粽子，则甲组每小时包个粽子，根据时间等于总工作量除以工作效率，即可得出关于的分式方程，解之并检验后即可得出结果．
【详解】解：设乙组平均每小时包个粽子，则甲组平均每小时包个粽子，
由题意得：
，解得： ，
经检验： 是分式方程的解，且符合题意，
∴分式方程的解为： ，
∴
答：甲组平均每小时包100个粽子，乙组平均每小时包80个粽子．
25．（2024·广东广州·中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验．依次去分母、去括号、移项、合并同类项求解，检验后即可得到答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
该分式方程的解为 ．
26．（2024·江苏扬州·中考真题）为了提高垃圾处理效率，某垃圾处理厂购进A、B两种机器，A型机器比B型机器每天多处理40吨垃圾，A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器处理300吨垃圾所用天数相等．B型机器每天处理多少吨垃圾？
【答案】B型机器每天处理60吨垃圾
【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，根据题意列出方程即可求出答案．
【详解】解：设型机器每天处理吨垃圾，则型机器每天处理吨垃圾，
根据题意，得 ，
解得 ．
经检验， 是所列方程的解．
答：B型机器每天处理60吨垃圾．
27．（2024·山东威海·中考真题）某公司为节能环保，安装了一批型节能灯，一年用电千瓦·时．后购进一批相同数量的型节能灯，一年用电千瓦·时．一盏型节能灯每年的用电量比一盏型节能灯每年用电量的倍少千瓦·时．求一盏型节能灯每年的用电量．
【答案】 千瓦·时
【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列方程是关键，并注意检验．根据两种节能灯数量相等列式分式方程求解即可．
【详解】解：设一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时，
则一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时
整理得
解得
经检验： 是原分式方程的解．
答：一盏型节能灯每年的用电量为千瓦·时.
28．（2024·陕西·中考真题）解方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
检验：把代入得： ，
∴ 是原方程的解．
29．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把 ， 代入 ， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入
得 ，
解得 ．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把 ， 代入 ，
∴ ，
第二次漂洗：
把 ， 代入 ，
∴ ，
而 ，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
30．（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用 、 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要 、 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知种外墙漆每千克的价格比种外墙漆每千克的价格多2元．
(1)求 、 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？
(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的 ，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】(1) 种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元．
(2)甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键；
（1）设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设种外墙漆每千克的价格为元，则种外墙漆每千克的价格为元，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
答： 种外墙漆每千克的价格为元， 种外墙漆每千克的价格为元．
（2）设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米；
∴ ，
解得： ，
经检验： 是原方程的根且符合题意，
答：甲每小时粉刷外墙的面积是平方米．
31．（2024·云南·中考真题）某旅行社组织游客从地到地的航天科技馆参观，已知地到地的路程为300千米，乘坐型车比乘坐型车少用2小时， 型车的平均速度是型车的平均速度的3倍，求型车的平均速度．
【答案】 型车的平均速度为
【分析】本题考查分式方程的应用，设型车的平均速度为 ，则型车的平均速度是 ，根据“乘坐型车比乘坐型车少用2小时，”建立方程求解，并检验，即可解题．
【详解】解：设型车的平均速度为 ，则型车的平均速度是 ，
根据题意可得， ，
整理得， ，
解得 ，
经检验是该方程的解，
答： 型车的平均速度为 ．
32．（2024·福建·中考真题）解方程： ．
【答案】 ．
【分析】本题考查解分式方程,掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程化为整式方程求解，即可解题．
【详解】解： ，
方程两边都乘 ，得 ．
去括号得： ，
解得 ．
经检验， 是原方程的根．