中考数学真题解析版：专题14 二次函数的图象与性质（39题）（解析版）

专题14 二次函数的图象与性质（39题）

一、单选题

1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为 ，再把化为顶点式即可．

【详解】解：抛物线向下平移2个单位后，

则抛物线变为 ，

∴ 化成顶点式则为 ，

故选：A．

2．（2024·广东广州·中考真题）函数与 的图象如图所示，当（ ）时， ， 均随着的增大而减小．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时， 随着的增大而减小； 位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案．

【详解】解：由函数图象可知，当时， 随着的增大而减小；

位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小，

当时， ， 均随着的增大而减小，

故选：D．

3．（2024·四川凉山·中考真题）抛物线经过三点，则的大小关系正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质可进行求解．

【详解】解：由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线 ，

该二次函数上所有的点满足离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小，

∵ ， ， ，

而 ， ， ，

∴点离对称轴最近，点离对称轴最远，

∴ ；

故选：D．

4．（2024·四川达州·中考真题）抛物线与 轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与 轴交于两点，横坐标分别为 ，依题意， ，根据题意抛物线开口向下，当时， ，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解．

【详解】解：依题意，设抛物线与 轴交于两点，横坐标分别为

依题意，

∵ ，抛物线开口向下，

∴当时， ，即

∴ ，故A选项正确，符合题意；

若对称轴为 ，即 ，

而 ，不能得出对称轴为直线 ，

故B选项不正确，不符合题意；

∵抛物线与坐标轴有2个交点，

∴方程有两个不等实数解，即 ，又

∴ ，故C选项错误，不符合题意；

无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意；

故选：A．

5．（2024·四川泸州·中考真题）已知二次函数 （x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（ ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，抛物线与轴有2个交点，开口向上，而且与轴的交点不在负半轴上，然后解不等式组即可．

【详解】解： 二次函数图象经过第一、二、四象限，

设抛物线与轴两个交点的横坐标分别为 ，由题意可得

解得 ．

故选：A．

6．（2024·陕西·中考真题）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表，

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ）

A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x的值增大而增大

C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线

【答案】D

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．

【详解】解：由题意得 ，解得 ，

∴二次函数的解析式为 ，

∵ ，

∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；

图象的对称轴是直线 ，故选项D符合题意；

当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；

∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下，

∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；

故选：D．

7．（2024·湖北·中考真题）抛物线的顶点为 ，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论．

【详解】解：根据题意画出函数的图像，如图所示：

∵开口向上，与轴的交点位于轴上方，

∴ ， ，

∵抛物线与轴有两个交点，

∴ ，

∵抛物线的顶点为 ，

∴ ，

观察四个选项，选项C符合题意，

故选：C．

8．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线 ），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可．

【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上，

∴当时， y随x的增大而增大，

∵点都在二次函数的图象上，且 ，

∴ ，

故选∶A．

9．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数 ，二次函数 ，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键．

【详解】解：根据题意得：

，

解得： ，

∴ 的取值范围是 ，

故选：C．

10．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的对称轴为直线 ，且该抛物线与轴交于点 ，与轴的交点在 ， 之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）

① ；

② ；

③ ；

④若方程两根为 ，则 ．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得 ， ， ，即可判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为 ，即可判断②错误；将c和b用a表示，即可得到 ，即可判断③正确；结合抛物线和直线与 轴得交点，即可判断④正确．

【详解】解：由图可知 ，

∵抛物线的对称轴为直线 ，且该抛物线与轴交于点 ，

∴ ， ，

则 ，

∵抛物线与 轴的交点在 ， 之间，

∴ ，

则 ，故①错误；

设抛物线与轴另一个交点 ，

∵对称轴为直线 ，且该抛物线与轴交于点 ，

∴ ，解得 ，

则 ，故②错误；

∵ ， ， ，

∴ ，解得 ，故③正确；

根据抛物线与 轴交于点和 ，直线过点和 ，如图，

方程两根为满足 ，故④正确；

故选：B．

11．（2024·江苏连云港·中考真题）已知抛物线 （a、b、c是常数， ）的顶点为 ．小烨同学得出以下结论：① ；②当时， 随的增大而减小；③若的一个根为3，则 ；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②④

【答案】B

【分析】根据抛物线的顶点公式可得 ，结合 ， ，由此可判断①；由二次函数的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．

【详解】解：根据题意可得： ，

，

，

即 ，

，

，

的值可正也可负，

不能确定的正负；故①错误；

，

抛物线开口向下，且关于直线对称，

当时， 随的增大而减小；故②正确；

，

抛物线为 ，

，

，故③正确；

抛物线 ，

将向左平移1个单位得： ，

抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；

正确的有②③，

故选：B．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程，一元二次方程的解的定义，用a表示b、c的值是本题的关键．

12．（2024·四川广安·中考真题）如图，二次函数 （ ， ， 为常数， ）的图象与轴交于点 ，对称轴是直线 ，有以下结论：① ；②若点和点都在抛物线上，则 ；③ （ 为任意实数）；④ ．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.

【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，

， .

，

.

.故①错误；

对称轴是直线 ，点和点都在抛物线上，

而 ，

.故②错误；

当时， ，

当时，函数取最大值 ，

∴对于任意实数有：

，

∴ ，故③正确；

，

.

当时， ，

.

，即 ，

故④正确.

综上所述，正确的有③④.

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.

13．（2024·四川眉山·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于点 ，与轴交于点 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④若 ，则 ，其中正确结论的个数为（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4

【答案】C

【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出 ，进一步得到 ，又根据得到 ，即可判断④.

【详解】解：① 函数图象开口方向向上，

；

对称轴在轴右侧，

、 异号，

，

∵抛物线与轴交点在轴负半轴，

，

，故①错误；

② 二次函数的图象与轴交于点 ，与轴交于点 ，对称轴为直线 ，

，

，

时， ，

，

，

，故②正确；

③ 对称轴为直线 ， ，

最小值，

，

∴ ，

故③正确；

④ ，

∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得 ，

，

，

，

，

，

，

故④正确；

综上所述，正确的有②③④，

故选：C

14．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过 ， 两点，则下列判断正确的是（ ）

A．可以找到一个实数 ，使得 B．无论实数取什么值，都有

C．可以找到一个实数 ，使得 D．无论实数取什么值，都有

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，再分情况讨论，当时，当时， ， 的大小情况，即可解题．

【详解】解： 二次函数解析式为 ，

二次函数开口向上，且对称轴为 ，顶点坐标为 ，

当时， ，

当时， ，

，

当时， ，

，

故A、B错误，不符合题意；

当时， ，

由二次函数对称性可知， ，

当时， ，由二次函数对称性可知， ，不一定大于 ，

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C．

15．（2024·贵州·中考真题）如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，顶点坐标为 ，则下列说法正确的是（ ）

A．二次函数图象的对称轴是直线

B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C．当时，y随x的增大而减小

D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D．

【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为 ，

∴二次函数图象的对称轴是直线 ，故选项A错误；

∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是 ，对称轴是直线 ，

∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误；

∵抛物线开口向下， 对称轴是直线 ，

∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；

设二次函数解析式为 ，

把代入，得 ，

解得 ，

∴ ，

当时， ，

∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确，

故选D．

16．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数 ，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．

由 ，可知图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，当时， ，即关于对称轴对称的点坐标为 ，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得 ，计算求解，然后作答即可．

【详解】解：∵ ，

∴图象开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，

当时， ，

∴ 关于对称轴对称的点坐标为 ，

∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，

∴ ，

解得， ，

故选：C．

17．（2024·黑龙江绥化·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列结论中：

① ② （m为任意实数） ③

④若 、 是抛物线上不同的两个点，则 ．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得 ， 即可判断①， 时，函数值最大，即可判断②，根据时， ，即可判断③，根据对称性可得即可判段④，即可求解．

【详解】解：∵二次函数图象开口向下

∴

∵对称轴为直线 ，

∴

∴

∵抛物线与轴交于正半轴，则

∴ ，故①错误，

∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ,

∴当时， 取得最大值，最大值为

∴ （m为任意实数）

即 ，故②正确；

∵ 时，

即

∵

∴

即

∴ ，故③正确；

∵ 、 是抛物线上不同的两个点，

∴ 关于对称，

∴ 即故④不正确

正确的有②③

故选：B

18．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为 ， ，且 ， ，则下列结论：

① ；

②方程有两个不相等的实数根；

③ ；

④ ；

⑤ ．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时， ，可判断①，由函数的最小值 ，可判断②，由抛物线的对称轴为直线 ，且 ，可判断③，由时， ，当时， ，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤；

【详解】解：① 抛物线开口向上， ， ，

∴当时， ，故①不符合题意；

②∵抛物线过点 ，

∴函数的最小值 ，

∴ 有两个不相等的实数根；

∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意；

③∵ ， ，

∴抛物线的对称轴为直线 ，且 ，

∴ ，而 ，

∴ ，

∴ ，故③不符合题意；

④∵抛物线过点 ，

∴ ，

∵ 时， ，

即 ，

当时， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，故④符合题意；

⑤∵ ， ，

∴ ，

由根与系数的关系可得： ， ，

∴

∴ ，

∴ ，故⑤符合题意；

故选：C．

19．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点， ，与y轴交点C的纵坐标在 ～ 之间，根据图象判断以下结论：① ；② ；③若且 ，则 ；④直线与抛物线的一个交点 ，则 ．其中正确的结论是（ ）

A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④

【答案】A

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数和一元二次方程的关系，掌握二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键，

根据题意得到抛物线的解析式为 ，即可得到 ， ，代入即可判断①；根据判断②；把代入 ，然后利用因式分解法解方程即可判断③；然后把 ， 代入解方程求出m的值判断④．

【详解】解：设抛物线的解析式为： ，

∴ ， ，

∴ ，故①正确；

∵点C的纵坐标在 ～ 之间，

∴ ，即 ，

∴ ，故②正确；

∵ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，故③错误；

∵令相等，则

∴ ，解得 （舍）， ，

∴ ，故④正确；

故选A．

20．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，正方形的顶点 ， 在抛物线上，点在 轴上．若两点的横坐标分别为 （ ），下列结论正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接 、 交于点 ，过点作 轴于点 ，过点作 于点 ，先证明 ．可得 ， ．点 、 的横坐标分别为 、 ，可得 ， ． ， ， ，设 ，则 ， ， ， ， ， ．再由 ， 进而可以求解判断即可．

【详解】解：如图，连接 、 交于点 ，过点作 轴于点 ，过点作 于点 ，

四边形是正方形，

、 互相平分， ， ，

， ，

．

， ，

．

， ．

点 、 的横坐标分别为 、 ，

， ．

， ， ，

设 ，则 ， ，

， ， ， ．

又 ， ，

， ．

．

．

．

点 、 在轴的同侧，且点在点的右侧，

．

．

故选：B．

21．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，抛物线的图象交x轴于点 、 ，交y轴于点C．以下结论：① ；② ；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， ；④当时，在内有一动点P，若 ，则的最小值为 ．其中正确结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】根据抛物线图象经过点 ，可得当时， ，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出 ，进而推出 ，则 ，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线 ，则 ，求出 ， ，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时， ，则 ，取点 ，连接 ，则 ，可证明 ，由相似三角形的性质可得 ，则 ，故当点P在线段上时， 的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．

【详解】解：∵抛物线的图象经过点 ，

∴当时， ，故①正确；

∵抛物线的图象交x轴于点 、 ，

∴抛物线对称轴为直线 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，故②正确；

∵对称轴为直线 ，

∴ ；

∵ 、 ，

∴ ，

∴ ；

在中，当时， ，

∴ ，

∴ ，

当时，则由勾股定理得 ，

∴ ，

∴ 或 （舍去）；

同理当时，可得 ；

综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时， 或 ，故③错误；

当时， ，则 ，

如图所示，取点 ，连接 ，则 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当点P在线段上时， 的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，

在中，由勾股定理得 ，故④正确，

∴正确的有3个，

故选：C．

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．

22．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于 ， ，其中 ．结合图象给出下列结论：

① ；② ；

③当时， 随的增大而减小；

④关于的一元二次方程的另一个根是 ；

⑤ 的取值范围为 ．其中正确结论的个数是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象与性质判断结论①②③正误；由二次函数与一元二次方程的关系判断结论④；利用结论④及题中条件可求得的取值范围，再由结论② 可得取值范围，判断⑤是否正确．

【详解】解：由图可得： ，对称轴 ，

，

，①错误；

由图得，图象经过点 ，将代入可得 ，

，②正确；

该函数图象与轴的另一个交点为 ，且 ，

对称轴 ，

该图象中，当时， 随着的增大而减小，当时， 随着的增大而增大，

当时， 随着的增大而减小，

③正确；

， ，

关于的一元二次方程的根为 ，

，

， ，

④正确；

，即 ，

解得 ，

即 ，

，

，

⑤正确．

综上，②③④⑤正确，共个．

故选： ．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的根与系数的关系、二次函数与不等式的关系等知识，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．

二、填空题

23．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，点 ， 在抛物线上，则 （填“＞”或“＜”）；

【答案】

【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线的解析式为 ，再利用二次函数图象的性质可得出答案．

【详解】解： ，

∵二次函数的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，

∴抛物线的解析式为 ，

∴抛物线开口向上，对称轴为 ，

∴当时，y随x的增大而增大，

∵ ，

∴ ，

故答案为： ．

24．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线 （ 是常数）与轴没有交点，则的取值范围是．

【答案】

【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键．

由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．

【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，

∴ 没有实数根，

∴ ， ．

故答案为： ．

25．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点 ，则．

【答案】2

【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到 ，再整体代入变形后代数式即可．

【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到 ，

把点代入得到， ，

得到 ，

∴ ，

故答案为：2

26．（2024·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中， ， ， 是二次函数图象上三点．若 ， ，则 （填“ ”或“ ”）；若对于 ， ， ，存在 ，则的取值范围是．

【答案】

【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可．

【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ；

∵ ， ， ， ，

∴ ，

∵存在 ，

∴ ， ，且离对称轴最远， 离对称轴最近，

∴ ，即 ，且 ，

∵ ， ，

∴ 且 ，

解得 ，

故答案为： ； ．

27．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使得 ，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开口大小”为．

【答案】4

【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到 ，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键．

【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点 ，使得 ，则 ，

，

中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ，

抛物线 “开口大小”为 ，

故答案为： ．

28．（2024·湖北武汉·中考真题）抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，且 ．下列四个结论：

① ；

②若 ，则 ；

③若 ，则关于x的一元二次方程无实数解；

④点 ， 在抛物线上，若 ， ，总有 ，则 ．

其中正确的是（填写序号）．

【答案】②③④

【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴 ，即可判断①，根据 ， 两点之间的距离大于 ，即可判断②，根据抛物线经过得出 ，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴 ，解不等式，即可求解．

【详解】解：∵ （a，b，c是常数， ）经过 ， 两点，且 ．

∴对称轴为直线 ， ，

∵ ，

∴ ，故①错误，

∵

∴ ，即 ， 两点之间的距离大于

又∵

∴ 时，

∴若 ，则 ，故②正确；

③由①可得 ，

∴ ，即 ，

当时，抛物线解析式为

设顶点纵坐标为

∵抛物线 （a，b，c是常数， ）经过 ，

∴

∴

∴

∵ ， ，对称轴为直线 ，

∴当时， 取得最大值为 ，而 ，

∴关于x的一元二次方程无解，故③正确；

④∵ ，抛物线开口向下，点 ， 在抛物线上， ， ，总有 ，

又 ，

∴点离 较远，

∴对称轴

解得： ，故④正确．

故答案为：②③④．

29．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线的顶点的坐标为 ，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：① ；② ；③若抛物线经过点 ，则 ；④若关于的一元二次方程无实数根，则 ．其中正确结论是（请填写序号）．

【答案】①②④

【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出 ，根据图象可得当时， ，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为 ，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断．

【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为 ，

∴ ，

∴ ，即 ，

由图可知，抛物线开口方向向下，即 ，

∴ ，

当时， ，

∴ ，故①正确，符合题意；

②∵直线是抛物线的对称轴，

∴ ，

∴ ，

∴

由图象可得：当时， ，

∴ ，即 ，故②正确，符合题意；

③∵直线是抛物线的对称轴，

设两点横坐标与对称轴的距离为 ，

则 ， ，

∴ ，

根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，

∴ ，故③错误，不符合题意；

④如图，

∵关于x的一元二次方程无实数根，

∴ ，故④正确，符合题意．

故答案为：①②④

30．（2024·山东烟台·中考真题）已知二次函数的 与的部分对应值如下表：

下列结论： ； 关于的一元二次方程有两个相等的实数根； 当时， 的取值范围为 ； 若点 ， 均在二次函数图象上，则 ； 满足的 的取值范围是或 ．其中正确结论的序号为．

【答案】

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质， 利用待定系数法求出的值即可判断 ；利用根的判别式即可判断 ；利用二次函数的性质可判断 ；利用对称性可判断 ；画出函数图形可判断 ；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

【详解】解：把 ， ， 代入得，

，

解得 ，

∴ ，故正确；

∵ ， ， ，

∴ ，

当时， ，

∴ ，

∵ ，

∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根，故正确；

∵抛物线的对称轴为直线 ，

∴抛物线的顶点坐标为 ，

又∵ ，

∴当时， 随的增大而增大，当时， 随的增大而减小，当时，函数取最大值 ，

∵ 与时函数值相等，等于 ，

∴当时， 的取值范围为 ，故错误；

∵ ，

∴点 ， 关于对称轴对称，

∴ ，故正确；

由得 ，

即 ，

画函数和 图象如下：

由 ，解得 ， ，

∴ ， ，

由图形可得，当或 时， ，即 ，故错误；

综上，正确的结论为 ，

故答案为： ．

三、解答题

31．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于 ， 两点．

(1)求的值；

(2)若点在该二次函数的图像上，且的面积为 ，求点的坐标．

【答案】(1)

(2)

【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．

（1）运用待定系数法即可求解；

（2）根据题意设 ，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解．

【详解】（1）解：二次函数的图像与轴交于 ， 两点，

∴ ，

解得， ，

∴ ；

（2）解：由（1）可知二次函数解析式为： ， ， ，

∴ ，

设 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当时， ，无解，不符合题意，舍去；

当时， ， ；

∴ ．

32．（2024·安徽·中考真题）已知抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．

(1)求b的值；

(2)点在抛物线上，点在抛物线上．

（ⅰ）若 ，且 ， ，求h的值；

（ⅱ）若 ，求h的最大值．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）3；（ⅱ）

【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．

（1）根据题意求出的顶点为 ，确定抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解；

（2）根据题意得出 ， ，然后整理化简 ；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果．

【详解】（1）解： ，

∴ 的顶点为 ，

∵抛物线 （b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1，

∴抛物线 （b为常数）的顶点横坐标为2，

∴ ，

∴ ；

（2）由（1）得

∵点在抛物线上，点在抛物线上．

∴ ， ，

整理得：

（ⅰ）∵ ，

∴ ，

整理得： ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ；

（ⅱ）将代入 ，

整理得 ，

∵ ，

∴当 ，即时，h取得最大值为 ．

33．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线 .

(1)当时，求抛物线的顶点坐标；

(2)已知和 是抛物线上的两点.若对于 ， ，都有 ，求的取值范围.

【答案】(1) ；

(2) 或

【分析】（ ）把代入 ，转化成顶点式即可求解；

（ ）分和 两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解；

本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．

【详解】（1）解：把代入得， ，

∴抛物线的顶点坐标为 ；

（2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线 ；

当时，如图，此时 ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ；

当时，如图，此时 ，

解得 ，

又∵ ，

∴ ；

综上，当或 ，都有 ．

34．（2024·浙江·中考真题）已知二次函数 （b，c为常数）的图象经过点 ，对称轴为直线 ．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（ ）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；

(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为 ，求n的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，

（1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式；

（2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可；

（3）分为 ， 时， 时，建立方程解题即可．

【详解】（1）解：设二次函数的解析式为 ，把代入得 ，

解得 ，

∴ ；

（2）解：点B平移后的点的坐标为 ，

则 ，解得或 （舍），

∴m的值为 ；

（3）解：当时，

∴最大值与最小值的差为 ，解得： 不符合题意，舍去；

当时，

∴最大值与最小值的差为 ，符合题意；

当时，

最大值与最小值的差为 ，解得或 ，不符合题意；

综上所述，n的取值范围为 ．

35．（2024·广西·中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

（1）老师给出 ，求二次函数的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：

注：*为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”

（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？

（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．

【答案】（1）① ；②当时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：

（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；

（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；

（3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可．

【详解】解：（1）①把代入 ，得：

；

∴ ；

②∵ ，

∴当时， 有最小值为 ；

（2）∵ ，

∵抛物线的开口向上，

∴当时， 有最小值；

∴甲的说法合理；

（3）正确；

∵ ，

∴当时， 有最小值为 ，

即： ，

∴当时， 有最大值，为 ．

36．（2024·云南·中考真题）已知抛物线的对称轴是直线 ．设是抛物线与 轴交点的横坐标，记 ．

(1)求的值；

(2)比较与 的大小．

【答案】(1)

(2)当时， ；当时， ．

【分析】（1）由对称轴为直线直接求解；

（2）当时， ；当时， ．

【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线 ，

∴ ，

∴ ；

（2）解：∵ 是抛物线与 轴交点的横坐标，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

而

代入得： ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

解得： ，

当时，

∴ ；

当时， ，

∴ ．

【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，与x轴交点问题，解一元二次方程，无理数的大小比较，解题的关键是对进行降次处理．

37．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 ： 与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为 ， 是抛物线第四象限上一点．

(1)求线段的长；

(2)当时，若的面积与的面积相等，求的值；

(3)延长交 轴于点 ，当时，将沿 方向平移得到 ．将抛物线平移得到抛物线 ，使得点 ， 都落在抛物线上．试判断抛物线与 是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)抛物线与 交于定点

【分析】（1）根据题意可得 ，整理得 ，即可知则有 ；

（2）由题意得抛物线 ： ，则设 ，可求得 ，结合题意可得直线解析式为 ，设直线与抛物线对称轴交于点E，则 ，即可求得 ，进一步解得点 ，过D作于点H，则 ，即可求得 ；

（3）设可求得直线解析式为 ，过点D作 ，可得 ，结合题意得设抛物线解析式为 ，由于过点 ， 可求得抛物线解析式为 ，根据解得 ，即可判断抛物线与 交于定点 ．

【详解】（1）解：∵抛物线 ： 与轴交于A，B两点，

∴ ，整理得 ，解得

∴

则 ；

（2）当时，抛物线 ： ，

则

设 ，则 ，

设直线解析式为 ，

∵点D在直线上，

∴ ，解得 ，

则直线解析式为 ，

设直线与抛物线对称轴交于点E，则 ，

∴ ，

∵ 的面积与的面积相等，

∴ ，解得 ，

∴点 ，

过点D作于点H，则 ，

则 ；

（3）设直线解析式为 ，

则 ，解得 ，

那么直线解析式为 ，

过点D作 ，如图，

则 ，

∵ ，

∴ ，

∵将沿 方向平移得到 ，

∴

由题意知抛物线平移得到抛物线 ，设抛物线解析式为 ，

∵点 ， 都落在抛物线上

∴ ，

解得 ，

则抛物线解析式为

∵

整理得 ，解得 ，

∴抛物线与 交于定点 ．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．

38．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线 ．

(1)求的值；

(2)若点在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

(3)设的图像与轴交点为 ， ．若 ，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；

(3)

【分析】（1）把点代入可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；

（2）把点代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次函数的性质可得答案；

（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，再建立不等式组求解即可.

【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线为： ，

∴抛物线的对称轴为直线 ，

∴ ；

（2）解：∵点在 的图像上，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线为 ，

将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：

，

∵ ，

∴当时，函数有最小值为 ，

当时，函数有最大值为

∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；

（3）∵ 的图像与轴交点为 ， ．

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 即 ，

解得： .

【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.

39．（2024·四川乐山·中考真题）在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线 （a为常数且 ）与y轴交于点A．

(1)若 ，求抛物线的顶点坐标；

(2)若线段 （含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；

(3)若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．

（1）把代入后再将抛物线化成顶点式为 ，即可求顶点坐标；

（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；

（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．

【详解】（1）解：当时，抛物线 ．

∴顶点坐标 ．

（2）令 ，则 ，

∴ ，

∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，

∴“完美点”的个数为4个或5个．

∵ ，

∴当“完美点”个数为4个时，分别为 ， ， ， ；

当“完美点”个数为5个时，分别为 ， ， ， ， ．

∴ ．

∴a的取值范围是 ．

（3）根据 ，

得抛物线的顶点坐标为 ，过点 ， ， ．

∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，

显然，“完美点” ， ， 符合题意．

下面讨论抛物线经过 ， 的两种情况：

①当抛物线经过时，解得此时， ， ， ．

如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ，共4个．

②当抛物线经过时，解得此时， ， ， ．

如图所示，满足题意的“完美点”有 ， ， ， ， ， ，共6个．

∴a的取值范围是 ．