2024年中考数学真题分类汇编(全国通用)专题34 动点综合问题（33题）（解析版）

专题34动点综合问题（33题）

一、单选题

1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，矩形中， 为其对角线，一动点从 出发，沿着的路径行进，过点作 ，垂足为 ．设点的运动路程为 ， 为 ， 与的函数图象如图2，则的长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键．

根据函数的图象与坐标的关系确定的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解．

【详解】解：由图象得： ，当时， ，此时点P在边上，

设此时 ，则 ， ，

在中， ，

即： ，

解得： ，

，

故选：B．

2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中， ， ，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接 ，以为边向下做正方形 ，设点E运动的路程为 ，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与 重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．

【详解】解：当与 重合时，设 ，由题可得：

∴ ， ，

在中，由勾股定理可得： ，

∴ ，

∴ ，

∴当时， ，

∵ ，

∴图象为开口向上的抛物线的一部分，

当在 下方时，设 ，由题可得：

∴ ， ，

∵ ， ,

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当时， ，

∵ ，

∴图象为开口向下的抛物线的一部分，

综上所述：A正确，

故选：A．

3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足 ， 与交于点O，点M是的中点，G是边上的点， ，则的最小值是（ ）

A．4 B．5 C．8 D．10

【答案】B

【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到 ，进而得到 ，则由直角三角形的性质可得 ，如图所示，在延长线上截取 ，连接 ，易证明 ，则 ，可得当H、D、F三点共线时， 有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出 ，在中，由勾股定理得 ，责任的最小值为5．

【详解】解：∵四边形是正方形，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵点M是的中点，

∴ ；

如图所示，在延长线上截取 ，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当H、D、F三点共线时， 有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

在中，由勾股定理得 ，

∴ 的最小值为5，

故选：B．

4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x， 的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时， 的长为（　　）

A．2 B．3 C． D．

【答案】C

【分析】结合图象，得到当时， ，当点P运动到点B时， ，根据菱形的性质，得 ，继而得到 ，当点P运动到中点时， 的长为 ，解得即可．

本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．

【详解】结合图象，得到当时， ，

当点P运动到点B时， ，

根据菱形的性质，得 ，

故 ，

当点P运动到中点时， 的长为 ，

故选C．

5．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在菱形中， ， ，点E是边上的动点，连接 ， ，过点A作于点P．设 ， ，则y与x之间的函数解析式为（不考虑自变量x的取值范围）（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解x、y的关系式是解答的关键．过D作 ，交延长线于H，则 ，根据菱形的性质和平行线的性质得到 ， ， ，进而利用含30度角的直角三角形的性质 ，证明得到 ，然后代值整理即可求解．

【详解】解：如图，过D作 ，交延长线于H，则 ，

∵在菱形中， ， ，

∴ ， ， ，

∴ ， ，

在中， ，

∵ ，

∴ ，又 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

故选：C．

二、填空题

6．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知两条平行线 、 ，点A是上的定点， 于点B，点C、D分别是 、 上的动点，且满足 ，连接交线段于点E， 于点H，则当最大时， 的值为．

【答案】

【分析】证明 ，得出 ，根据 ，得出 ，说明点H在以为直径的圆上运动，取线段的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，则点在 上运动，说明当与 相切时最大，得出 ，根据 ，利用 ，即可求出结果．

【详解】解：∵两条平行线 、 ，点A是上的定点， 于点B，

∴点B为定点， 的长度为定值，

∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴点H在以为直径的圆上运动，

如图，取线段的中点O，以点O为圆心， 为半径画圆，

则点在 上运动，

∴当与 相切时最大，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

故答案为： ．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，切线的性质，解直角三角形等知识点，解题的关键是确定点H的运动轨迹．

7．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中， ， ， ，点为直线上一动点，则的最小值为．

【答案】

【分析】如图，作关于直线的对称点 ，连接交 于 ，则 ， ， ，当重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，作关于直线的对称点 ，连接交 于 ，则 ， ， ，

∴当重合时， 最小，最小值为 ，

∵ ， ，在中，

∴ ， ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

故答案为：

【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．

8．（2024·四川凉山·中考真题）如图， 的圆心为 ，半径为 ， 是直线上的一个动点，过点作 的切线，切点为 ，则的最小值为

【答案】

【分析】记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接 ；由直线解析式可求得点A、K的坐标，从而得均是等腰直角三角形，由相切及勾股定理得： ，由 ，则当最小时， 最小，点P与点K重合，此时最小值为 ，由勾股定理求得的最小值，从而求得结果．

【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接 ，

当 ， ，当 ，即 ，

解得： ，

即 ；

而 ，

∴ ，

∴ 均是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ，

∵ 与相切，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴当最小时即最小，

∴当时，取得最小值，

即点P与点K重合，此时最小值为 ，

在中，由勾股定理得： ，

∴ ，

∴ 最小值为 ．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．

9．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知 ，点为 内部一点，点为射线 、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则．

【答案】 / 度

【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用；作点P关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是与 ， 的交点时， 的周长最短，根据对称的性质结合等腰三角形的性质即可求解．

【详解】解：作关于 ， 的对称点 ．连接 ．则当 ， 是与 ， 的交点时， 的周长最短，连接 ，

关于对称，

∴ ，

同理， ， ，

， ，

是等腰三角形．

，

故答案为： ．

10．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ，过点作 轴的垂线 ， 为直线上一动点，连接 ， ，则的最小值为．

【答案】5

【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点 ，连交直线于点C，连 ，得到 ， ，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时， 的最小值为 ，再利用勾股定理求即可．

【详解】解：取点A关于直线的对称点 ，连交直线于点C，连 ，

则可知 ， ，

∴ ，

即当三点共线时， 的最小值为 ，

∵直线垂直于y轴，

∴ 轴，

∵ ， ，

∴ ，

∴在中，

，

故答案为：5

11．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中， ， ， 是边上一点，且 ，点是 的内心， 的延长线交于点 ， 是上一动点，连接 、 ，则的最小值为．

【答案】

【分析】在取点F，使 ，连接 ， ，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出 ，利用证明 ，得出 ，则 ，当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，利用含的直角三角形的性质求出 ，利用勾股定理求出 ， 即可．

【详解】解：在取点F，使 ，连接 ， ，过点F作于H，

∵I是的内心，

∴ 平分 ，

∴ ，

又 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当C、P、F三点共线时， 最小，最小值为 ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ 的最小值为 ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键．

12．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中， ， ， ．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿 翻折得 ，连接 ， ，则面积的最小值为．

【答案】 /

【分析】根据平行四边形的性质得到 ， ， ，由折叠性质得到 ，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交 延长线于M，交圆E于 ，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到 ，故只需利用锐角三角函数求得即可求解．

【详解】解：∵在中， ， ，

∴ ， ，则 ，

∵E为边的中点，

∴ ，

∵ 沿翻折得 ，

∴ ，

∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交 延长线于M，交圆E于 ，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，

过C作于N，

∵ ，

∴ ，

在中， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ 面积的最小值为 ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键．

13．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形的边长为1，M、N是边 、 上的动点．若 ，则的最小值为．

【答案】 /

【分析】将顺时针旋转得到 ，再证明 ，从而得到 ，再设设 ， ，得到 ，利用勾股定理得到 ，即 ，整理得到 ，从而利用完全平方公式得到 ，从而得解．

【详解】解：∵正方形的边长为1，

∴ ， ，

将顺时针旋转得到 ，则 ，

∴ ， ， ， ，

∴点P、B、M、C共线，

∵ ，

∴ ，

∵ ， ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ， ，则 ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，即 ，

整理得： ，

∴

，

当且仅当 ，即 ，也即时， 取最小值 ，

故答案为： ．

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键．

14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形中， ，E、F分别是边上的动点，且 ．当的值最小时，则．

【答案】

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长 ，截取 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，说明当最小时， 最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时， 最小，即最小，再证明 ，根据相似三角形的性质，求出结果即可．

【详解】解：延长 ，截取 ，连接 ， ，如图所示：

∵四边形为平行四边形，

∴ ， ， ，

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴当最小时， 最小，

∵两点之间线段最短，

∴当A、E、G三点共线时， 最小，即最小，且最小值为的长，

∵ ，

∴ ，

∴ ，即 ，

解得 ．

故答案为： ．

三、解答题

15．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 中， ， ， ， ，反比例函数的图象与交于点 ，与交于点E．

(1)求m，k的值；

(2)点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作 ，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接 ，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

【答案】(1) ，

(2) 最大值是 ，此时

【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：

（1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可；

（2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出 ，设点P的坐标为 ， ，则可求出 ，然后利用二次函数的性质求解即可．

【详解】（1）解： ， ，

．

又 ，

．

，

点 ．

设直线的函数表达式为 ，

将 ， 代入 ，得 ，

解得 ，

∴直线的函数表达式为 ．

将点代入 ，得 ．

．

将代入 ，得 ．

（2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．

， ，

．

轴，

， ．

，

，

，

．

设点P的坐标为 ， ，则 ， ．

．

．

当时， 有最大值 ，此时 ．

16．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于 ， 两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)P是直线上的一个动点， 的面积为21，求点P坐标；

(3)点Q在反比例函数位于第四象限的图象上， 的面积为21，请直接写出Q点坐标．

【答案】(1) ，

(2)点P坐标为或 ；

(3)Q点坐标为或

【分析】（1）先求出 ，再代入 ，得出 ，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．

（2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得 ，解出 ，即可作答．

（3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．

【详解】（1）解：依题意把代入 ，得出

解得

把代入中，得出

∴

则把和 分别代入

得出

解得

∴ ；

（2）解：记直线与直线的交点为

∵

∴当时，则

∴

∵P是直线上的一个动点，

∴设点 ，

∵ 的面积为21，

∴

即

∴

解得或

∴点P坐标为或 ；

（3）解：由（1）得出

∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，

∴设点Q的坐标为

如图：点在点的右边时

∵ 的面积为21， 和

∴

整理得

解得 （负值已舍去）

经检验是原方程的解，

∴Q点坐标为

如图：点在点的左边时

∵ 的面积为21， 和

∴

整理得

解得 ，符合题意， ，不符合题意，

则 ，故

综上：Q点坐标为或 ．

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

17．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线对称．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当时，y的取值范围是 ，求t的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2

【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．

（1）待定系数法求出函数解析式即可；

（2）分和 ，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可．

（3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，与y轴交于点B，且关于直线对称，

∴ ，解得： ，

∴ ；

（2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，

∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小，

∵ 时， ，

①当时，则：当时，函数有最大值，即： ，

解得： 或 ，均不符合题意，舍去；

②当时，则：当时，函数有最大值，即： ，

解得： ；

故 ；

（3）存在；

当时，解得： ，当时， ，

∴ ， ，

设直线的解析式为 ，把代入，得： ，

∴ ，

设 ，则： ，

∴ ， ， ，

当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：

①当为边时，则： ，即 ，

解得： （舍去）或 ，

此时菱形的边长为 ；

②当为对角线时，则： ，即： ，

解得： 或 （舍去）

此时菱形的边长为： ；

综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2．

18．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与 轴交于点 ， ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图 ，抛物线与轴交于点 ，点为线段上一点（不与端点重合），直线 ， 分别交抛物线于点 ， ，设面积为 ， 面积为 ，求的值；

(3)如图 ，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点 ， ，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（ ）利用待定系数法即可求解；

（ ）设 ，直线为 ，求出 ，直线为 ，求出 ，联立方程组得 ， ，再根据 ， 即可求解；

（ ）设直线为 ，由得 ，得 ，设 ， ，联立直线与抛物 ，得 ，根据根与系数的关系可得： ， ，作点关于直线的对称点 ，连接 ，则有 ，过点作于F，则 ，则 ， ，根据勾股定理得 ，即可求出最小值．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点 ， ，

，

解得 ，

∴抛物线的解析式为 ；

（2）设 ，直线为 ，据题意得，

，解得 ，

∴ ，

联立得 ，

解得或 ，

∴ ，

设 ，直线为 ，据题意得，

，解得 ，

∴ ，

联立得 ，

解得或 ，

∴ ，

，

，

∴ ；

（3）设直线为 ，由得 ，

∴ ，

∴ ，

设 ， ，

联立直线与抛物线 ，

得 ，

，

根据根与系数的关系可得： ， ，

作点关于直线的对称点 ，连接 ，

由题意得直线 ，则 ，

∴ ，

过点作于F，则 ．

则 ， ，

在中，

，

即当时， ，此时 ，

故的最小值为 ．

【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．

19．（2024·吉林·中考真题）如图，在中， ， ， ， 是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作 ，交于点Q，以为边作等边三角形 ，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为 ， 与重合部分图形的面积为 ．

(1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）．

(2)当点E与点C重合时，求t的值．

(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．

【答案】(1)等腰三角形，

(2)

(3)

【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到 ，由 ，得到 ，解得到 ；

（2）由为等边三角形得到 ，而 ，则 ，故 ，解得 ；

（3）当点P在上，点E在上，重合部分为 ，过点P作于点G， ，则 ，此时 ；当点P在上，点E在延长线上时，记与 交于点F，此时重合部分为四边形 ，此时 ，因此 ，故可得 ，此时 ；当点P在上，重合部分为 ， 此时 ， ，解直角三角形得 ，故 ，此时 ，再综上即可求解．

【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：

∵ ， ，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ 为等腰三角形，

∵ ，

∴ ，

∴在中， ；

（2）解：如图，

∵ 为等边三角形，

∴ ，

由（1）得 ，

∴ ，

即 ，

∴ ；

（3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为 ，过点P作于点G，

∵ ，

∴ ，

∵ 是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

由（2）知当点E与点C重合时， ，

∴ ；

当点P在上，点E在延长线上时，记与 交于点F，此时重合部分为四边形 ，如图，

∵ 是等边三角形，

∴ ，

而 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当点P与点D重合时，在中， ，

∴ ，

∴ ；

当点P在上，重合部分为 ，如图，

∵ ，

由上知 ，

∴ ，

∴此时 ，

∴ ，

∵ 是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴当点P与点B重合时， ，

解得： ，

∴ ，

综上所述： ．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．

20．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与 轴交于点和点 ，与轴交于点 ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)当时，求的函数值的取值范围；

(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点 ，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3) 的最小值为：

【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；

（2）求解的对称轴为直线 ，而 ，再利用二次函数的性质可得答案；

（3）求解 ， ，可得 ，求解直线为 ，及 ，证明在直线上，如图，过作 于 ，连接 ，过作 于 ，可得 ， ，证明 ，可得 ，可得 ，再进一步求解即可．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点 ，

∴ ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为： ；

（2）解：∵ 的对称轴为直线 ，而 ，

∴函数最小值为： ，

当时， ，

当时， ，

∴函数值的范围为： ；

（3）解：∵ ，

当时， ，

∴ ，

当时，

解得： ， ，

∴ ，

∴ ，

设直线为 ，

∴ ，

∴ ，

∴直线为 ，

∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点 ，而顶点为 ，

∴ ，

∴ 在直线上，

如图，过作 于 ，连接 ，过作 于 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

∵对称轴与轴平行，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

由抛物线的对称性可得： ， ，

∴ ，

当三点共线时取等号，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

即的最小值为： ．

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．

21．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限， 的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（ ）， 的面积为S．

(1)求点A的坐标；

(2)求S与t的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】(1)点A的坐标为

(2)

(3)存在， ， ， ，

【分析】（1）运用因式分解法解方程求出的长，根据等边三角形的性质得出 ，过点A作轴，垂足为C，求出的长即可；

（2）分 ， 和三种情况，运用三角形面积公式求解即可；

（3）当时求出 ，得 ，分为边和对角线两种情况可得点N的坐标；当和 时不存在以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形

【详解】（1）解： ，解得 ，

的长度是的根，

∵ 是等边三角形，

∴ ，

过点A作轴，垂足为C，

在中，

∴

，

∴

点A的坐标为

（2）解：当时．过P作轴，垂足为点D，

∴ ， ，

∴

∴ ，

；

当时，过Q作 ，垂足为点E

∵

∴

又

∴ ，

又 ，

当时，过O作 ，垂足为F

∴ ，

同理可得， ，

∴ ；

综上所述

（3）解：当时，解得，

∴ ，

过点P作轴于点G，则

∴

∴点P的坐标为 ；

当为边时，将沿 轴向下平移4个单位得 ，此时 ，四边形是菱形；

将沿 轴向上平移4个单位得 ，此时 ，四边形是菱形；如图，

作点P关于y轴的对称点 ，当时，四边形是菱形；

当为对角线时，设的中点为T，过点T作 ，交y轴于点M，延长到 ,使连接 ,过点作 轴于点 ，则

∴

∴ ,即 ，

解得， ,

∴ ，

∴ ；

当 ，解得， ，不符合题意，此情况不存在；

当时，解得， ，不符合题意，此情况不存在；

综上，点N的坐标为 ， ， ，

【点睛】本题主要考查运用因式分解法解一元二次方程，等边三角形的性质，勾股定理， 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的面积，菱形的判定与性质，正确作出辅助线和分类讨论是解答本题的关键

22．（2024·江西·中考真题）综合与实践

如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接 ，以为直角边在的右侧构造 ， ，连接 ， ．

特例感知

（1）如图1，当时， 与之间的位置关系是______，数量关系是______；

类比迁移

（2）如图2，当时，猜想与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．

拓展应用

（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接 ， ， ，如图3．已知 ，设 ，四边形的面积为y．

①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；

②当时，请直接写出的长度．

【答案】（1） ， （2） 与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；（3）①y与x的函数表达式 ，当时， 的最小值为 ；②当时， 为或 .

【分析】（1）先证明 ， ， ，可得 ；再结合全等三角形的性质可得结论；

（2）先证明 ， ，结合 ，可得 ；再结合相似三角形的性质可得结论；

（3）①先证明四边形为正方形，如图，过作 于 ，可得 ， ，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接 ， ， ，证明 ，可得在 上，且为直径，则 ，过作 于 ，过作 于 ，求解正方形面积为 ,结合 ，再解方程可得答案.

【详解】解：（1）∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ， ，

∴ ；

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ 与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；

（2） 与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；理由如下：

∵ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ；

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ 与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；

（3）由（1）得： ， ， ，

∴ ， 都为等腰直角三角形；

∵点F与点C关于对称，

∴ 为等腰直角三角形； ，

∴四边形为正方形，

如图，过作 于 ，

∵ ， ，

∴ ， ，

当时，

∴ ，

∴ ，

如图，当时，

此时 ，

同理可得： ，

∴y与x的函数表达式为 ，

当时， 的最小值为 ；

②如图，∵ ，正方形 ，记正方形的中心为 ，

∴ ，

连接 ， ， ，

∴ ，

∴ 在上，且为直径，

∴ ，

过作 于 ，过作 于 ，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∴正方形面积为 ,

∴ ，

解得： ， ，经检验都符合题意，

如图，

综上：当时， 为或 .

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.

23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

(3)当时，求点P的坐标；

(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接 ，则的最小值为______．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．

（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；

（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；

（3）先证明可得 ，设 ，则 ,可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；

（4）如图：将线段向右平移单位得到 ,即四边形是平行四边形，可得 ,即 ，作关于对称轴的点 ,则 ，由两点间的距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得即可解答．

【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，

∴当时， ，即 ；当时， ，即 ；

∵ ，

∴设抛物线的解析式为 ，

把代入可得： ，解得： ，

∴ ，

∴抛物线的解析式为： ．

（2）解：∵ ， ，

∴ ,

∴ ，

如图：当 ，

∴ ,即 ；

如图：当 ，

∴ ,即 ；

如图：当 ，

∴ ,即 ；

综上，点D的坐标为 ．

（3）解：如图：∵ 轴，

∴ ，

∵ 轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ,

∴ ,

∵设 ，则 ,

∴ ，

∴ ，解得： （负值舍去），

当时， ，

∴ ．

（4）解： ∵抛物线的解析式为： ，

∴抛物线的对称轴为：直线 ，

如图：将线段向右平移单位得到 ,

∴四边形是平行四边形，

∴ ,即 ,

作关于对称轴的点 ,则

∴ ,

∵ ，

∴ 的最小值为 ．

故答案为 ．

24．（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F： 经过点 ，与y轴交于点 ．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交 于点D，求的最大值及此时点C的坐标；

(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象 ，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．

【答案】(1) ；

(2)最大值为 ，C的坐标为 ；

(3)点G的坐标为 ， ， ．

【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；

（2）根据题意证明 ，再设的解析式为 ，求出的解析式，再设 ，则 ，再表示出利用最值即可得到本题答案；

（3）根据题意求出 ，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案．

【详解】（1）解： ， 代入 ，

得： ，解得： ，

∴抛物线的函数表达式为 ．

（2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M．

∴ 轴，

∴ ，

∴ ，

设的解析式为 ，

把 ， 代入解析式得 ，

解得： ，

∴ ．

设 ，则 ，

∴ ，

∵ ， ，

∴当时， 最大，最大值为 ．

∴ 的最大值为 ，此时点C的坐标为 ．

（3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点，

∴ ，

∴ （舍）， ，

∴ ．

∵抛物线F： 的顶点坐标为 ，

∴抛物线的顶点坐标为 ，

∴抛物线的对称轴为直线 ．

如图2，当为对角线时，由题知 ，

∴ ，

∴ ．

如图3，当为边时，由题知 ，

∴ ，

∴ ．

如图4，由题知 ，

∴ ，

∴ ，

综上：点G的坐标为 ， ， ．

25．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点在第一象限，且 ．

(1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______；

(2)若为 轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为 ．设 ．

①如图②，若直线与边相交于点 ，当折叠后四边形与 重叠部分为五边形时， 与相交于点 ．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；

②设折叠后重叠部分的面积为 ，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

【答案】(1)

(2)① ；②

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理 ，即可作答．

（2）①由折叠得 ， ，再证明是等边三角形，运用线段的和差关系列式化简， ，考虑当与点重合时，和当与点B重合时，分别作图，得出的取值范围，即可作答．

②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出 ，再分别以时， 时， ， 分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．

【详解】（1）解：如图：过点C作

∵四边形是平行四边形， ，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故答案为： ，

（2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，

∴ ， ，

∴

∵

∴

∴

∵四边形为平行四边形，

∴ ， ，

∴ 是等边三角形

∴

∵

∴

∴ ；

当与点重合时，

此时与 的交点为E与A重合，

如图：当与点B重合时，

此时与 的交点为E与B重合，

∴ 的取值范围为 ；

②如图：过点C作

由（1）得出 ，

∴ ，

∴

当时，

∴ ，开口向上，对称轴直线

∴在时， 随着的增大而增大

∴ ；

当时，如图：

∴ ， 随着的增大而增大

∴在时 ；在时 ；

∴当时，

∵当时，过点E作，如图：

∵由①得出是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴

∵

∴开口向下，在时， 有最大值

∴

∴在时，

∴

则在时， ；

当时，如图，

∴ ， 随着的增大而减小

∴在时，则把分别代入

得出 ，

∴在时，

综上：

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

26．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数的图像经过点 ，点 ， 是此二次函数的图像上的两个动点．

(1)求此二次函数的表达式；

(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交AB于点D，连接 ．若 ，求证的值为定值；

(3)如图2，点P在第二象限， ，若点M在直线上，且横坐标为 ，过点M作轴于点N，求线段长度的最大值．

【答案】(1)

(2)为定值3，证明见解析

(3)

【分析】（1）用待定系数法求解即可；

（2）先求出直线的解析式， ，则 ， ，表示出 ， ，代入即可求解；

（3）设 ，则 ，求出直线的解析式，把代入即可求出线段长度的最大值．

【详解】（1）∵二次函数的图像经过点 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）当时， ，

∴ ，

∴ ，

设直线的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，则 ， ，

∴ ， ．

∴ ，

∴ 的值为定值；

（3）设 ，则 ，

设直线的解析式为 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当时，

，

∴当时，线段长度的最大值 ．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．

27．（2024·广东·中考真题）【问题背景】

如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点 ，以线段为对角线作矩形 ， 轴．反比例函数的图象经过点A．

【构建联系】

（1）求证：函数的图象必经过点C．

（2）如图2，把矩形沿 折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值．

【深入探究】

（3）如图3，把矩形沿 折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交 于点P．以点O为圆心， 长为半径作 ．若 ，当与 的边有交点时，求k的取值范围．

【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）

【分析】（1）设 ，则 ，用含的代数式表示出 ，再代入验证即可得解；

（2）先由点B的坐标和k表示出 ，再由折叠性质得出 ，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出 ，由比值关系可求出 ，最后由即可得解；

（3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根据A，C关于直线对轴知， 必过点C，如图所示，连 ， ，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围．

【详解】（1）设 ，则 ，

∵ 轴，

∴D点的纵坐标为 ，

∴将代入中得： 得，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴将代入中得出 ，

∴函数的图象必经过点C；

（2）∵点在直线上，

∴ ，

∴ ，

∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2，

∵函数的图象经过点A，C，

∴ ， ，

∴ ，

∴ ，

∵把矩形沿 折叠，点C的对应点为E，

∴ ， ，

∴ ，

如图，过点D作轴，过点B作轴，

∵ 轴，

∴H，A，D三点共线，

∴ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ,

∵ ，

∴ ， ，

∴ ，

由图知， ，

∴ ，

∴ ；

（3）∵把矩形沿 折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合，

∴ ，

∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形， ，

∴ ， ， ，

∵ 轴，

∴直线为一，三象限的夹角平分线，

∴ ，

当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，

∵ 轴，

∴H，A，D三点共线，

∵以点O为圆心， 长为半径作 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ， ，

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

当过点A时，根据A，C关于直线对轴知， 必过点C，如图所示，连 ， ，过点D作轴交y轴于点H，

∵ ,

∴ 为等边三角形，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ， ，

∵ 轴，

∴ ，

∴ ，

∴ ,

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ,

∴当与 的边有交点时，k的取值范围为 ．

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．

28．（2024·四川达州·中考真题）如图1，抛物线与 轴交于点和点 ，与轴交于点 ．点是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2，连接 ， ，直线交抛物线的对称轴于点 ，若点是直线上方抛物线上一点，且 ，求点的坐标；

(3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2) 或 ；

(3) 或或 或

【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；

（2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出 ，连接 ，设交 轴于点 ，则得出是等腰直角三角形，进而得出 ，则点与点重合时符合题意， ，过点作 交抛物线于点 ，得出直线的解析式为 ，联立抛物线解析式，即可求解；

（3）勾股定理求得 ，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解．

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于点和点 ，

∴

解得：

∴抛物线的解析式为 ；

（2）由 ，当时， ，则

∵ ，则 ，对称轴为直线

设直线的解析式为 ，代入 ，

∴

解得：

∴直线的解析式为 ，

当时， ，则

∴

∴

∴ 是等腰三角形，

∴

连接 ，设交 轴于点 ，则

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ， ，

又

∴

∴

∴点与点重合时符合题意，

如图所示，过点作 交抛物线于点 ，

设直线的解析式为 ，将代入得，

解得：

∴直线的解析式为

联立

解得： ，

∴

综上所述， 或 ；

（3）解：∵ ， ，

∴

∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中

∴ ，

①当时， ，解得： 或

②当时， ，解得：

③当时， ，解得： 或 （舍去）

综上所述， 或或 或 ．

【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

29．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点 ．经过点的直线与该二次函数图象交于点 ，与轴交于点 ．

(1)求二次函数的解析式及点的坐标；

(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作 轴于点 ，与直线交于点 ，设点的横坐标为 ．

① 为何值时线段的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点 ，使得与 相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ，

(2)①当时， 有最大值为 ；②当P的坐标为或 时， 与相似

【分析】（1）把 ， ， 代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令 ，求出y，即可求出C的坐标；

（2）①根据P、D的坐标求出 ，然后根据二次函数的性质求解即可；

②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出 ，然后分 ， 两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．

【详解】（1）解：把 ， ， 代入 ，

得 ，

解得 ，

∴二次函数的解析式为 ，

设直线解析式为 ，

则 ，

解得 ，

∴直线解析式为 ，

当时， ，

∴ ；

（2）解：①设 ，则 ，

∴

，

∴当时， 有最大值为 ；

②∵ ， ，

∴ ，

又 ，

∴ ，

又轴，

∴ 轴，

∴ ，

当时，如图，

∴ ，

∴ 轴，

∴P的纵坐标为3，

把代入 ，得 ，

解得 ， ，

∴ ，

∴ ，

∴P的坐标为 ；

当时，如图，过B作于F，

则 ， ，

又 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

解得 ， （舍去），

∴ ，

∴P的坐标为

综上，当P的坐标为或 时， 与相似．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．

30．（2024·四川广安·中考真题）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ，点坐标为 ，点坐标为 ．

(1)求此抛物线的函数解析式．

(2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作 轴的垂线交直线于点 ，过点作 轴的垂线，垂足为点 ，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由．

(3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．

【答案】(1)

(2) 的最大值为 ， 点的坐标为

(3)点的坐标为或

【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；

（2）先求解 ，及直线为 ，设 ，可得 ，再建立二次函数求解即可；

（3）如图，以为对角线作正方形 ，可得 ， 与抛物线的另一个交点即为 ，如图，过作 轴的平行线交轴于 ，过作 于 ，则 ，设 ，则 ，求解 ，进一步求解直线为： ，直线为 ，再求解函数的交点坐标即可.

【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ，点坐标为 ，点坐标为 ．

∴ ；

（2）解：当时， ，

∴ ，

设直线为 ，

∴ ，解得： ，

∴直线为 ，

设 ，

∴ ，

∴

；

当时，有最大值 ；

此时 ；

（3）解：如图，以为对角线作正方形 ，

∴ ，

∴ 与抛物线的另一个交点即为 ，

如图，过作 轴的平行线交轴于 ，过作 于 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ， ，

设 ，则 ，

∴ ,

∴ ，

由可得：

∴ ，

解得： ，

∴ ，

设为： ，

∴ ，解得： ，

∴直线为： ，

∴ ，

解得： 或 ，

∴ ，

∵ ， ， ，正方形 ，

∴ ，

同理可得：直线为 ，

∴ ，

解得： 或 ，

∴ ，

综上：点的坐标为或 .

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

31．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，与轴交于点 ， ， ，对称轴为直线 ，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线 ，抛物线与 轴交于点 ，顶点为 ，对称轴为直线 ．

(1)分别求抛物线和 的表达式；

(2)如图 ，点的坐标为 ，动点在直线上，过点作 轴与直线交于点 ，连接 ， ．求的最小值；

(3)如图 ，点的坐标为 ，动点在抛物线上，试探究是否存在点 ，使 ？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) ，

(2)

(3)存在， 或

【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解；

（2）将点F向右平移2个单位至 ，则 ， ，过点D作直线的对称点为 ，连接 ，则四边形为平行四边形，则 ， ，因此 ，即可求解；

（3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得 ，作H关于直线的对称点 ，则点在直线上，可求直线的表达式为 ，联立 ， 解得： 或 （舍），故 ；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则 ，可得 ，可证明出 ，由 ，得 ，设 ，则 ， ，在和 中，由勾股定理得 ，解得： 或 （舍），所以 ，可求直线表达式为： ，联立 ，解得： 或 （舍），故 ．

【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G，

由题意得 ，

∵对称轴为直线 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

将A、B、C分别代入 ，

得： ，

解得： ，

∴ ，

∴ ，顶点为

∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线 ，

∴抛物线的 ，顶点为 ，

∴ 的表达式为： ，即

（2）解：将点F向右平移2个单位至 ，则 ， ，过点D作直线的对称点为 ，连接 ，

∴ ，

∵ ，

∴直线为直线 ，

∵ 轴，

∴ ，

对于抛物线 ，令 ，则 ，

∴ ，

∵点D与点关于直线对称，

∴点 ，

∵ 轴， ，

∴四边形为平行四边形，

∴ ，

∴ ，

当点三点共线时，取得最小值，

而 ，

∴ 的最小值为 ；

（3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图：

∵抛物线 ，

∴

∵ 轴，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

作H关于直线的对称点 ，则点在直线上，

∵点的坐标为 ，直线 ： ，

∴ ，

设直线的表达式为： ，

代入 ， ,

得： ，

解得： ，

∴直线的表达式为 ，

联立 ，得： ，

解得： 或 （舍），

∴ ；

②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则 ，如图：

∵ 垂直平分 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵

∴ ，

∴ ，

由点

得： ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设 ，

∴ ， ，

在和 中，由勾股定理得 ，

∴ ，

解得： 或 （舍）

∴ ，

∴ ，

∴ ，

设直线表达式为： ，

代入点N，E，

得： ，

解得：

∴直线表达式为： ，

联立 ，

得： ，

整理得：

解得： 或 （舍），

∴ ，

综上所述， 或 ．

【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．

32．（2024·甘肃·中考真题）如图1，抛物线交x轴于O， 两点，顶点为 ．点C为的中点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)过点C作 ，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．

(3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形 ．

①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；

②如图3，连接 ， ，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)① ②

【分析】（1）根据顶点为 ．设抛物线 ，把代入解析式，计算求解即可；

（2）根据顶点为 ．点C为的中点，得到 ，当时， ，得到 ．结合 ，垂足为H，得到的长．

（3）①根据题意，得 ，结合四边形是平行四边形，设 ，结合点F落在抛物线上，得到 ，解得即可；

②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接 ， ， ，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．

【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为 ．

设抛物线 ，

把代入解析式，得 ，

解得 ，

∴ ．

（2）∵顶点为 ．点C为的中点，

∴ ，

∵ ，

∴ 轴，

∴E的横坐标为1，

设 ，

当时， ，

∴ ．

∴ ．

（3）①根据题意，得 ，

∵四边形是平行四边形，

∴点C，点F的纵坐标相同，

设 ，

∵点F落在抛物线上，

∴ ，

解得 ， (舍去)；

故 ．

②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接 ， ， ，

则四边形是矩形，

∴ ，

∵四边形是平行四边形，

∴ ，

∴ ，

∴四边形是平行四边形，

∴ ，

∵ ，

故当三点共线时， 取得最小值，

∵ ，

∴ 的最小值，就是的最小值，且最小值就是 ，

延长交y轴于点M，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

故的最小值是 ．

【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键．

33．（2024·重庆·中考真题）在中， ， ，过点作 ．

(1)如图1，若点在点的左侧，连接 ，过点作 交于点 ．若点是 的中点，求证： ；

(2)如图2，若点在点的右侧，连接 ，点是 的中点，连接并延长交于点 ，连接 ．过点作 交于点 ， 平分交 于点 ，求证： ；

(3)若点在点的右侧，连接 ，点是 的中点，且 ．点是直线上一动点，连接 ，将绕点逆时针旋转得到 ，连接 ，点是直线上一动点，连接 ， ．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到 ，连接 ．在点的运动过程中，直接写出的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）证明得到 ，再由点是 的中点，得到 ，即可证明 ；

（2）如图所示，过点G作于H，连接 ，先证明 ，得到 ， ，再证明是等腰直角三角形，得到 ；由直角三角形斜边上的中线的性质可得 ，则 ，进而可证明 ，则 ；设 ，则 ，可得由角平分线的定义可得 ，则可证明 ，进而证明 ，得到 ，即可证明 ；

（3）如图所示，过点D作交 延长线与H，连接 ，则四边形是矩形，可得 ，证明是等边三角形，得到 ，进而得到 ， ；由旋转的性质可得 ，证明 ，得到 ，则点Q在直线上运动，设直线交 于K，则 ，可得 ，由垂线段最短可知，当时， 有最小值，则 ，设 ，则 ，则 ， ；再求出 ，则 ， ，由勾股定理得 ；由全等三角形的性质可得 ，则 ；由折叠的性质可得 ，由 ，得到当点Q在线段上时， 此时有最大值，最大值为 ，据此代值计算即可．

【详解】（1）证明：∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

又∵ ，

∴ ，

∴ ，

∵点是 的中点，

∴ ，

∴ ；

（2）证明：如图所示，过点G作于H，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∵点是 的中点，

∴ ，

∴ ，

∴ ， ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ；

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ；

设 ，则 ，

∴ ，

∵ 平分 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ；

（3）解：如图所示，过点D作交 延长线与H，连接 ，

∵ ，

∴ ，

∵ ，

∴四边形是矩形，

∴ ，

∵点是 的中点，且 ，

∴ ，

∴ 是等边三角形，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

由旋转的性质可得 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴点Q在直线上运动，

设直线交 于K，则 ，

∴ ，

由垂线段最短可知，当时， 有最小值，

∴ ，

设 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

在中， ，

∴ ，

∴ ，

在中，由勾股定理得 ；

∵ ，

∴ ，

∴ ；

由折叠的性质可得 ，

∵ ，

∴ ，

∴当点Q在线段上时， 此时有最大值，最大值为 ，

∴ 的最大值为 ．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，等腰直角三角的性质与判定，旋转的性质，折叠的性质，垂线段最短，矩形的性质与判定等等，解（2）的关键在于作出辅助线证明 ，得到 ；解（3）的关键在于通过手拉手模型证明点Q的运动轨迹是直线，从而根据垂线段最短确定点Q的位置．