中考数学真题解析版：专题22 圆的相关性质（34题）（解析版）
专题22圆的相关性质（34题）
一、单选题
1．（2024·湖南·中考真题）如图， ， 为的两条弦，连接 ， ，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知 ，即可得到答案．
【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着 ，
，
，
．
故选：C．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图， 是的直径， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出 ．
由圆周角定理得到 ，由邻补角的性质求出 ．
【详解】解： ，
，
．
故选：D．
3．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）
A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心， 为半径的一段圆弧，
故选：C．
4．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接 ，作的垂直平分线交 于点 ，交于点 ，测出 ，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接 ，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵ 是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接 ．
中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故选：C．
5．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图， 是的直径， 是的弦，半径 ，连接 ，交于点E， ，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得 ，利用圆周角定理求得 ，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵半径 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
6．（2024·湖北·中考真题） 为半圆的直径，点为半圆上一点，且 ．①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于 ；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点 ；③作射线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查圆周角定理以及角平分线定义，根据直径所对的圆周角是直角可求出 ，根据作图可得 ，故可得答案
【详解】解：∵ 为半圆的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由作图知， 是的角平分线，
∴ ，
故选：C
7．（2024·四川宜宾·中考真题）如图， 是的直径，若 ，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到 ，同弧或等弧所对的圆周角相等得到 ，进一步计算即可解答．
【详解】解： 是的直径，
，
，
，
，
故选：A．
8．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是 的内接四边形， 为延长线上一点， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出 ，即可得到答案．
【详解】解： 是圆周角，与圆心角对相同的弧，且 ，
，
又四边形是 的内接四边形，
，
又 ，
，
故选：A．
9．（2024·云南·中考真题）如图， 是的直径，点 、 在上．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接 ，由可得 ，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
11．（2024·广东广州·中考真题）如图， 中，弦的长为 ，点在 上， ， ． 所在的平面内有一点 ，若 ，则点与 的位置关系是（ ）
A．点在 上 B．点在 内 C．点在 外 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得 ，由圆周角定理可得 ，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案．
【详解】解：如图，令与 的交点为 ，
为半径， 为弦，且 ，
，
，
在中， ， ， ，
，
，即的半径为4，
，
点在 外，
故选：C．
12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，四边形是 的内接四边形， 是的直径，若 ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接 ，由是 的直径得到 ，根据圆周角定理得到 ，得到 ，再由圆内接四边形对角互补得到答案.
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 是的直径，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
∵四边形是 的内接四边形，
∴ ，
故选：B
13．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，四边形内接于 ， ， ， ，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长至点E，使 ，连接 ，连接并延长交于点F，连接 ，即可证得 ，进而可求得 ，再利用圆周角定理得到 ，结合三角函数即可求解．
【详解】解：延长至点E，使 ，连接 ，连接并延长交于点F，连接 ，
∵四边形内接于 ，
∴
∴
∵
∴ ，
∴ 是的直径，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴ ， ,
∵
∴
又∵
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，锐角三角函数、等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
二、填空题
14．（2024·四川南充·中考真题）如图， 是的直径，位于两侧的点C，D均在上， ，则度．
【答案】75
【分析】本题考查圆周角定理，补角求出 ，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行求解即可．
【详解】解：∵ 是的直径，位于两侧的点C，D均在上， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：75．
15．（2024·北京·中考真题）如图， 的直径平分弦 （不是直径）.若 ，则
【答案】55
【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
先由垂径定理得到 ，由得到 ，故 ．
【详解】解：∵直径平分弦 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图， 是的内接三角形，若 ，则．
【答案】 /62度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接 ，利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
17．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图， 内接于 ， 是直径，若 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接 ，根据直径所对的圆周角是直角得出 ，根据同弧所对的圆周角相等得出 ，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 内接于 ， 是直径，
∴ ，
∵ , ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
18．（2024·四川眉山·中考真题）如图， 内接于 ，点在 上， 平分交 于 ，连接 ．若 ， ，则的长为．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的定义全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，延长 ， 交于 ，由圆周角定理可得 ， ，进而可证明 ，得到 ，即得 ，利用勾股定理得 ，再证明 ，得到 ，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：延长 ， 交于 ，
是的直径，
， ，
平分 ，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
， ，
，
，
又∵ ，
∴ ，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
19．（2024·陕西·中考真题）如图， 是的弦，连接 ，， 是所对的圆周角，则与 的和的度数是．
【答案】 /90度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理可得 ，结合三角形内角和定理，可证明 ，再根据等腰三角形的性质可知 ，由此即得答案．
【详解】 是所对的圆周角， 是所对的圆心角，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
20．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E， ，则弦的长为．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
由垂径定理得 ，设的半径为 ，则 ，在中，由勾股定理得出方程，求出 ，即可得出 ，在中，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵ ，
，
设的半径为 ，则 ，
在中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
，
，
在中，由勾股定理得： ，
故答案为： ．
21．（2024·江西·中考真题）如图， 是的直径， ，点C在线段上运动，过点C的弦 ，将沿 翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为．
【答案】 或或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据 ，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解： 为直径， 为弦，
，
当的长为正整数时， 或2，
当时，即为直径，
将沿 翻折交直线于点F，此时与点重合，
故 ；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接 ，
此时 ，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接 ，
同理可得 ，
，
综上，可得线段的长为或 或2，
故答案为： 或或2．
22．（2024·河南·中考真题）如图，在中， ， ，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若 ，则的最大值为，最小值为.
【答案】 / /
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据 ，得出当最大时， 最大， 最小时， 最小，根据当与 相切于点D，且点D在内部时， 最小， 最大，当与 相切于点D，且点D在外部时， 最大， 最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵线段绕点C在平面内旋转， ，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵ ，
∴ ，
∴点E在以为直径的圆上，
在中， ，
∵ 为定值，
∴当最大时， 最大， 最小时， 最小，
∴当与 相切于点D，且点D在内部时， 最小， 最大，连接 ， ，如图所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即的最大值为 ；
当与 相切于点D，且点D在外部时， 最大， 最小，连接 ， ，如图所示：
则 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形为圆内接四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
即的最小值为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置．
三、解答题
23．（2024·四川甘孜·中考真题）如图， 为⊙O的弦，C为的中点，过点C作 ，交的延长线于点D．连接 ．
(1)求证： 是⊙O的切线；
(2)若 ，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、垂径定理的推论等知识点，熟记相关结论是解题关键．
（1）由垂径定理的推论可知 ，据此即可求证；
（2）利用勾股定理求出即可求解；
【详解】（1）证明：∵ 为⊙O的弦，C为的中点，
由垂径定理的推论可知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为⊙O的半径，
∴ 是⊙O的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图， 是的直径， 是的两条弦，点与点在 的两侧， 是上一点（ ），连接 ，且 ．
(1)如图1，若 ， ，求的半径；
(2)如图2，若 ，求证： ．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出 ，结合 ，可得出 ，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出 ，然后利用定理证明 ，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接 ，证明 ，得出 ，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，
∴ ，
∵
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
法二：连接 ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
25．（2024·安徽·中考真题）如图， 是的外接圆，D是直径上一点， 的平分线交于点E，交于另一点F， ．
(1)求证： ；
(2)设 ，垂足为M，若 ，求的长．
【答案】(1)见详解
(2) ．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键．
（1）由等边对等角得出 ，由同弧所对的圆周角相等得出 ，由对顶角相等得出 ，等量代换得出 ，由角平分线的定义可得出 ，由直径所对的圆周角等于可得出 ，即可得出 ，即 ．
（2）由（1）知， ，根据等边对等角得出 ，根据等腰三角形三线合一的性质可得出 ， 的值，进一步求出 ， ，再利用勾股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又与 都是所对的圆周角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
故 ，
即 ．
（2）由（1）知， ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ， ，
∴圆的半径 ，
∴ ，
在中．
，
∴
即的长为 ．
26．（2024·四川眉山·中考真题）如图， 是的直径，点在 上，点在 的延长线上， ， 平分交 于点 ，连结 ．
(1)求证： 是的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接 ，根据圆周角定理得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到 ，求得 ，连接 ，根据角平分线的定义得到 ，求得 ，得到 ，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接 ，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解： ， ，
，
，
，
，
，
连接 ，
平分 ，
，
，
，
是的直径，
，
．
27．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知及 边上一点 ．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点为圆心，以为半径的圆交射线于点 ，用无刻度直尺和圆规在射线上求作点 ，使点到点的距离与点到射线的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得是直径，结合锐角三角函数的定义可得的值，根据勾股定理可求出的值，在直角中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
∴ ；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接 ，以点为圆心，以为半径画弧交于点 ，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点 ，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点 ，连接并延长交于点 ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
根据作图可得 ，
∴ ，即 ， 是点到 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，
根据作图可得， ，连接 ，
∴在中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在中， ，
解得， （负值舍去），
∴ ，
在中， ．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
28．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像在底座上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明 ．
(2)经测量，最大视角为 ，在点P处看塑像顶部点A的仰角为 ，点P到塑像的水平距离为 ．求塑像的高（结果精确到 ．参考数据： ）．
【答案】(1)见解析
(2)塑像的高约为
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，然后等量代换即可得证；
（2）在中，利用正切的定义求出 ，在中，利用正切的定义求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
则 ．
∵ ，
∴ ．
（2）解：在中， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在中， ，
∴ ．
∴ ．
答：塑像的高约为 ．
29．（2024·江西·中考真题）如图， 是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接 ， ．
(1)求证： 是半圆O的切线；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键．
（1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得 ，即可得 ，进而可证得结论；
（2）连接 ，证明为等边三角形，求得 ，利用弧长公式即可解答．
【详解】（1）证明： 是半圆O的直径，
，
，
，
，
是半圆O的切线；
（2）解：如图，连接 ，
，
为等边三角形，
， ，
，
．
30．（2024·广东深圳·中考真题）如图，在中， ， 为的外接圆， 为的切线， 为的直径，连接并延长交于点E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，中垂线的判定和性质，矩形的判定和性质：
（1）连接并延长，交于点 ，连接 ，易证垂直平分 ，圆周角定理，切线的性质，推出四边形为矩形，即可得证；
（2）由（1）可知 ，勾股定理求出的长，设的半径为 ，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接并延长，交于点 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ 为的切线，
∴ ，
∵ 为的直径，
∴ ，
∴四边形为矩形，
∴ ；
（2）由（1）知四边形为矩形， ， ，
∴ ，
∴ ，
设的半径为 ，则： ，
在中，由勾股定理，得： ，
解得： ；
即： 的半径为 ．
31．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中， ， ， 经过A、C两点，交于点D， 的延长线交于点F， 交于点E．
(1)求证： 为的切线；
(2)若 ， ，求的半径．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质可得 ，再根据 ，可得 ，问题得证；
（2）过点C作于点H，根据等腰直角三角形的性质有 ，结合 ，可得 ，即 ，利用勾股定理可得 ．在中，根据 ，设半径为r，即有 ，问题得解．
【详解】（1）证明：连接 ．
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为的切线．
（2）过点C作于点H，
∵ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在中，∵ ，
设半径为r，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，正切，勾股定理等知识以及等腰三角形的性质等知识，问题难度不大，正确作出合理的辅助线，是解答本题的关键．
32．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，以为直径的交 于点 ，垂足为 ． 的两条弦相交于点 ．
(1)求证： 是的切线；
(2)若 ，求扇形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，利用等边对等角，圆周角定理等可得出 ，由垂直的定义得出 ，等量代换得出 ，即 ，然后根据切线的判定即可得证；
（2）先利用含的直角三角形的性质求出 ，同时求出 ，进而求出 ，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出 ， ，证明是等边三角形，得出 ， ，进而求出 ，在中，利用余弦定义可求出 ，最后利用扇形面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又是 的半径；
∴ 是的切线；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
在中， ，
∴扇形的面积为 ．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
33．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．
如图，已知 ， ， 是的外接圆，点在 上（ ），连接 、 、 ．
【特殊化感知】
（1）如图1，若 ，点在 延长线上，则与 的数量关系为________；
【一般化探究】
（2）如图2，若 ，点 、 在同侧，判断与 的数量关系并说明理由；
【拓展性延伸】
（3）若 ，直接写出 、 、 满足的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】（1） ；（2） （3）当在 上时， ；当在 上时，
【分析】（1）根据题意得出是等边三角形，则 ，进而由四边形是圆内接四边形，设交于点 ，则 ，设 ，则 ，分别求得 ，即可求解；
（2）在上截取 ，证明 ，根据全等三角形的性质即得出结论；
（3）分两种情况讨论，①当在 上时，在上截取 ，证明 ， ，得出 ，作于点 ，得出 ，进而即可得出结论；②当在 上时，延长至 ，使得 ，连接 ，证明 ， ，同①可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，则
∵ 是的外接圆，
∴ 是的角平分线，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴
设交于点 ，则 ，
设 ，则
在中，
∴
∴ ，
∵ 是直径，则 ，
在中，
∴
∴
（2）如图所示，在上截取 ，
∵
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，则
∴
∵四边形是圆内接四边形，
∴
∴ ；
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，则
∴ ，
又∵
∴
在中
∴
∴ ，
∴
即 ；
（3）解：①如图所示，当在 上时，
在上截取 ，
∵
∴
又∵
∴ ，则
∴ 即
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
如图所示，作于点 ，
在中， ，
∴
∴
∴ ，即
②当在 上时，如图所示，延长至 ，使得 ，连接 ，
∵四边形是圆内接四边形，
∴
又∵
∴ ，则
∴ 即 ，
又∵
∴
∴
∴ ，
∵
同①可得
∴
∴
综上所述，当在 上时， ；当在 上时， ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握截长补短的辅助线方法是解题的关键．
34．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中， ，延长至点E，使 ，延长至点F，连结 ，使 ．
(1)若 ， 为直径，求的度数．
(2)求证：① ；② ．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到 ，故 ，由 ，得到 ；
（2）①由四点共圆得 ，而 ，等量代换得到 ，故 ；
②过点D作平行线交于点G，可证明 ， ，因此得到 ，由 ，得到 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②过点D作平行线交于点G，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵由（1）知 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．