中考数学真题解析版：专题20 多边形与平行四边形（30题）（解析版）
专题20 多边形与平行四边形（30题）
一、单选题
1．（2024·贵州·中考真题）如图， 的对角线与 相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
【详解】解：∵ 是平行四边形，
∴ ，
故选B．
2．（2024·云南·中考真题）一个七边形的内角和等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和，根据边形的内角和为求解，即可解题．
【详解】解：一个七边形的内角和等于 ，
故选：B．
3．（2024·河北·中考真题）直线l与正六边形的边分别相交于点M，N，如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
先求出正六边形的每个内角为 ，再根据六边形的内角和为即可求解的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为： ，
而六边形的内角和也为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
4．（2024·湖南·中考真题）下列命题中，正确的是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．菱形的对角线相等
C．正五边形的外角和为 D．直角三角形是轴对称图形
【答案】A
【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．
【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；
C、正五边形的外角和为 ，选项错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：A．
5．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在中，点是 的中点， 过点 ，下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对边平行，对角线互相平分，对角相等等性质进行判断即可
【详解】解： 四边形是平行四边形，
， ， ，故①③正确，
， ，
点是 的中点，
，
又 ， ， ，
，
， ，故②不正确，
， ，
，
即 ，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故选：C．
6．（2024·吉林长春·中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关键．
根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论．
【详解】解： ，
故选：D．
7．（2024·四川德阳·中考真题）已知，正六边形的面积为 ，则正六边形的边长为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查正六边形的性质，正三角形的性质，设出边长去表示正三角形面积和正六边形面积即可．
【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为 ，故正六边形是由6个正三角形构成的，过点作垂足是 ，
设正六边形的边长为 ，即
在正三角形中，
∵ ，
∴ ，
在中，
一个正三角形的面积为： ，
正六边形的面积为： ，
∴ ，
解得： ，
故选：C．
8．（2024·山东·中考真题）如图，已知 ， ， 是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形 ．若 ，则的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正边形的一个外角为 ，
∴ 的值为 ；
故选A
9．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为 ，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线相交于点 ，则 ，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10．（2024·浙江·中考真题）如图，在中， 相交于点O， ．过点A作的垂线交于点E，记长为x， 长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交 的延长线于点F，证明 ，得到 ，由勾股定理可得， ， ，则 ，整理后即可得到答案．
【详解】解：过点D作交 的延长线于点F，
∵ 的垂线交于点E，
∴ ，
∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
由勾股定理可得， ，
，
∴ ，
∴
∴
即 ，解得 ，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是 ，
故选：C
11．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得 ，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得 ，证明 ，得到 ，再结合中点的定义得出 ，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴① ．
又∵ ， ，
∴ （② ）．
∴ ．∴四边形是平行四边形．
故选：D．
12．（2024·四川遂宁·中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为 ，先根据内角和求出正多边形的边数，再用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：设这个正多边形的边数为 ，
则 ，
∴ ，
∴这个正多边形的每个外角为 ，
故选： ．
二、填空题
13．（2023·江苏宿迁·中考真题）凸七边形的内角和是度．
【答案】900
【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：七边形的内角和 ，
故答案为：900．
14．（2024·青海·中考真题）正十边形一个外角的度数是．
【答案】 /36度
【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式求解即可．
【详解】解：正十边形的一个外角的大小是 ，
故答案为： ．
15．（2024·甘肃临夏·中考真题）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为 ．
【答案】120
【分析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为和正多边形的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为 ，再除以6即可．
【详解】解：∵正六边形的内角和为 ，
∴正六边形的每个内角为 ．
故答案为：120．
16．（2024·内蒙古包头·中考真题）已知一个n边形的内角和是 ，则．
【答案】7
【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成 ，依此列方程可求解．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ．
故答案为：7
17．（2024·广东广州·中考真题）如图， 中， ，点在 的延长线上， ，若平分 ，则．
【答案】5
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．由平行四边形的性质可知， ， ，进而得出 ，再由等角对等边的性质，得到 ，即可求出的长．
【详解】解：在中， ，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
故答案为：5．
18．（2024·山东威海·中考真题）如图，在正六边形中， ， ，垂足为点I．若 ，则．
【答案】 /50度
【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角为 ，即 ，则可求得的度数，根据平行线的性质可求得的度数，进而可求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵正六边形的内角和 ，
每个内角为： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
19．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边 的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为．
【答案】 /18度
【分析】连接 ， ，根据正多边形的性质可证 ，得到 ，进而得到是 的垂直平分线，即 ，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到 ，再根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】解：连接 ， ，
∵五边形是正五边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点F是的中点，
∴ 是的垂直平分线，
∴ ，
∵在正五边形中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键．
20．（2024·四川广安·中考真题）如图，在中， ， ， ，点为直线上一动点，则的最小值为．
【答案】
【分析】如图，作关于直线的对称点 ，连接交 于 ，则 ， ， ，当重合时， 最小，最小值为 ，再进一步结合勾股定理求解即可.
【详解】解：如图，作关于直线的对称点 ，连接交 于 ，则 ， ， ，
∴当重合时， 最小，最小值为 ，
∵ ， ，在中，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，求最小值问题，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．
21．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为．
【答案】
【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作 ，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可．
【详解】解：∵正六边形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
过点作 于点 ，则： ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，则： ，
∴ ；
故答案为： ．
三、解答题
22．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在中，E，F是对角线上的点，且 ．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到 ，则 ，再证明 ，即可证明 ．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
23．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题：
如图1，点E是边 上一点（不包含A，D），连接 ．用尺规作 ，F是边上一点．
小明：如图2．以C为圆心， 长为半径作弧，交于点F，连接 ，则 ．
小丽：以点A为圆心， 长为半径作弧，交于点F，连接 ，则 ．
小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！
(1)证明 ；
(2)指出小丽作法中存在的问题．
【答案】(1)见详解
(2)以点A为圆心， 长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，
（1）根据小明的作图方法证明即可；
（2）以点A为圆心， 长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
又根据作图可知： ，
∴四边形是平行四边形，
∴ ；
（2）原因：以点A为圆心， 长为半径作弧，与可能有两个交点，
故无法确定F的位置，
故小丽的作法存在问题．
24．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出 ，再由线段中点的定义得到 ，据此可证明 ，进而可证明 ．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵点O是的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．（2024·江西·中考真题）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中， 平分 ，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中， 平分 ，交边于点E，过点A作交 的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知 ， ，求的长．
【答案】（1） 是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；② ．
【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键；
（1）利用角平分线的定义得到 ，利用平行线的性质得到 ，推出 ，再等角对等边即可证明是等腰三角形；
（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；
②由①得 ，利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：（1） 是等腰三角形；理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）①∵ 中，
∴ ， ，
同（1） ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
即 、 、 、 是等腰三角形；共有四个，
故选：B．
②∵ 中， ， ，
∴ ， ，
由①得 ，
∴ ．
26．（2024·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为 ， ， ， ．
(1)以点D为旋转中心，将旋转得到 ，画出 ；
(2)直接写出以B， ， ，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分 ，写出点E的坐标．
【答案】(1)见详解
(2)40
(3) (答案不唯一)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键．
（1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出 ．
（2）连接 ， ，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可．
（3）根据网格信息可得出 ， ，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标．
【详解】（1）解： 如下图所示：
（2）连接 ， ，
∵点B与 ，点C与分别关于点D成中心对称，
∴ ， ，
∴四边形是平行四边形，
∴ ．
（3）∵根据网格信息可得出 ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 也是线段的垂直平分线，
∵B，C的坐标分别为， ，
∴点 ，
即 ．（答案不唯一）
27．（2024·湖南·中考真题）如图，在四边形中， ，点E在边上，．请从“① ；② ， ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若 ， ， ，求线段的长．
【答案】(1)①或②，证明见解析；
(2)6
【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．
（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得出 ，再由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：选择①，
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得 ，
∵ ， ，
∴ ．
28．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点 ， 分别在边 ， 上， ．
(1)求证： ；
(2)连接 ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由）
【答案】(1)见解析
(2)添加 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，结合已知条件可得 ，即可证明 ；
（2）添加 ，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
在与 中，
，
∴ ；
（2）添加 （答案不唯一）
如图所示，连接 ．
∵四边形是平行四边形，
∴ ，即 ，
当时，四边形是平行四边形．
29．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在中，D是中点．
(1)求作： 的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若l交于点E，连接并延长至点F，使 ，连接 ．补全图形，并证明四边形是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定．
（1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可；
（2）由D，E分别为 ， 的中点，根据中位线的性质，得到 ， ，结合 ，得到 ，即可证明结论成立．
【详解】（1）解：直线l如图所示，
；
（2）证明：补全图形，如图，
由（1）作图知，E为的中点，
∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ ，即： ，
∴ ，
∵ ，
∴ 四边形是平行四边形．
30．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图（1）中，画射线交 于点D，使平分的面积；
(2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使 ；
(3)在图（2）中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转到点C，再画射线交 于点G；
(4)在（3）的基础上，将线段绕点G旋转 ，画对应线段 （点A与点M对应，点B与点N对应）．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
(4)作图见解析
【分析】本题考查了网格作图．熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
（1）作矩形 ，对角线交 于点D，做射线 ，即可；
（2）作 ,射线于点Q，连接交 于点E，即可；
（3）在下方取点F，使 ， 是等腰直角三角形，连接 ， ， 交于点G，即可；
（4）作 ，交于点M，作 ，交于点N，连接 ，即可．
【详解】（1）如图，作线段 ，使四边形是矩形， 交于点D，做射线 ，点D即为所求作；